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Esferas tangentes y naranjas

Autor:J. Cayetano Rodríguez (Formación Instituto GeoGebra Extremeño)
Aunque no es del todo exacto, podemos modelizar una naranja mediante una esfera. En muchas ocasiones nuestro árbol puede darnos tres naranjas iguales, que parten de un mismo pedúnculo, obtendremos una forma tetraédrica, en la que las tres naranjas , por gravedad, se apoyan unas en otras.
  • Así pues, ¡obtenemos esferas tangentes cuyos centros ocupan los vértices de un tetraedro con base un triángulo equilátero.
  • Dependiendo de la longitud de las pequeñas ramificaciones que unen las naranjas con el pedúnculo principal, el tetraedro obtenido podría ser o no regular.
  • El nódulo del que parten las ramificaciones ocupa el otro vértice del tetraedro.
  • En este caso, modelizaremos esta trifoliación usando un tetraedro regular.

Cuestiones

  • ¿Qué relación hay entre la longitud de los lados del tetraedro regular y el radio de las esferas?
En la modelización, además del descrito anteriormente, aparece un segundo tetradedro.
  • Haz la descripción de cómo crees que están relacionados uno con otro.
La naranja se une al pedúnculo por la cicatriz peduncular, siendo el extremo opuesto la flor basal o cicatriz estilar, y marca el lugar donde se encontraba el pistilo antes de formarse la fruta. Observa que en la modelización, se han marcado las flores basales de cada naranja.
  • Indica un procedimiento para obtener estos puntos en nuestro modelo (cicatrices pedunculares y flores basales).
Como adorno, se han incluido un par de hojas de naranjo en la modelización.
  • Describe, utilizando vocabulario matemático, los elementos utilizados para modelizar esas hojas y las relaciones que observes entre ellos (simetrías, giros). Por ejemplo, ¿qué elemento geométrico se ha utilizado para modelizar el pecíolo central/raquis.
  • En la modelización no se han incluido las nervaduras de la hoja, que parten del raquis y ayudan a distribuir agua y nutrientes. Indica un procedimiento para modelizarlas utilizando segmentos, es decir, cómo podríamos hacer para establecer los puntos entre los que trazar esos segmentos.

Naranjas para modelizar
Naranjas para modelizar

Nuestro turno

Vamos a crear nuestra propia modelización de una trifoliación de naranjas. No es necesario que incluyas las hojas de adorno que aparecen en la anterior. Posibilidades: subirla a la web de GeoGebra y poner a continuación el enlace a la construcción, o bien dejar el enlace al archivo .ggb en la web. Podemos utilizar diferentes vistas para el modelizado, pero al entregarlo, solo debe mostrarse la vista3D y, si acaso, la vista 2D con únicamente la imagen a modelizar, que no debe poderse seleccionar. Podemos usar la foto proporcionada, que es la del applet, o bien alguna propia.

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