omwentelingslichamen

Onderwerp:
Functies, Rotatie
Je kunt omwentelingslichamen creëren als parameteroppervlakken via het commando Oppervlak( ). Dit vergt ervaring en kennis van formules. GeoGeoGebra biedt echter een veel gemakkelijkere invoermogelijk aan om hetzelfde te bereiken.
  • Typ als invoer sqrt(x) en creëer de functie .
  • Typ als invoer Oppervlak(f, 360°) en creëer meteen het omwentelingslichaam dat je krijgt bij het roteren van f rond de x-as.

inhoud van een omwentelingslichaam

De oppervlakte begrend door de grafiek van een functie f en de x-as kan je benaderen door som van rechthoeken. Via de onder- of bovensom kan je dan deze oppervlakte berekenen. Analoog kan je tonen dat je de inhoud van een omwentelingslichaam kunt benaderen door schijven. Dit leidt tot de inhoudsformule met integralen.
  • Open het 3D venster en vink in de tab Basis de optie Y-as is verticaal aan. Het 3D-venster lijkt nu op een gewoon tekenvenster maar je kunt het wel draaien.
  • Bepaal met onder = 0, boven = 6 en breedte = boven - onder de integratiegrenzen.
  • Typ als invoer sqrt(2x),onder <=x <= boven en creëer de functie met domein [0, 6].
  • Omwentelingsoppervlak: Oppervlak(f, 360°).
We benaderen de inhoud van het omwentelingslichaam door n cilinders:
  • Definieer een schuifknop n van 0 tot 20 met stapgrootte 2.
  • Bepaal n punten op de grafiek van f: lijst1= Rij((onder + breedte / n i, f(onder + breedte / n i), 0), i, 0, n)
  • Creëer n cirkels met straal de y-coördinaat van de n punten van lijst1 lijst2 = Rij(Cirkel(a, Element(lijst1, i)), i, 1, n)
  • Creëer n cilinders met grondvlak de n cirkels van lijst2 lijst3 = Rij(Cilinder(Element(lijst2, i), breedte / n), i, 1, n
Versleep je nu de schuifknop n, dan benader je het omentelingslichaam door een toenemend aantal cilinders. De som van de inhouden van deze cilinders benadert de inhoud van het omwentelingslichaam.
  • Bereken de benaderende inhoud als de som van de volumes van de n cilinders met Som(lijst3).