Informazione ed Entropia in un gas
I cursori rosso e blu indicano la temperatura del gas (°K). I grafici mostrano la distribuzione delle velocità delle molecole (probabilità che la velocità stia in una data classe, per ogni grado di libertà); in questo caso si è scelto come gas CO con 5 gradi di libertà
La perdita di informazione (o informazione necessaria per conoscere la classe di velocità della molecola) è misurata sommando per ogni classe i valori , dove log_2 è il logaritmo in base 2, ovvero ,
quindi Δ.
Per ulteriori spiegazioni si veda sotto il grafico. Per una suddivisone in più classi si veda https://www.geogebra.org/m/P9xyYmV7 . Per una introduzione alla relazione tra Entropia e informazione si veda https://www.geogebra.org/m/Rng5BcBF
Se le velocità sono concentrate in una classe abbiamo bisogno (convenzionalmente) di informazione pari a zero per conoscere la classe di velocità della molecola.
Nella distribuzione “equiprobabile" (in grigio) ci vogliono 3 bit di informazione per conoscere la classe di velocità (3 scelte binarie minime per identificare una delle 2^3=8 classi): usando la formula precedente .
La perdita di informazione è sinonimo di aumento dell'Entropia e può essere misurata sia in bit che in J/K
oppure (con costante di Boltzmann, si noti che ).
A causa delle approssimazioni l'aumento di entropia S calcolato non risulta esattamente uguale a quello teorico, che per ogni molecola è
esattamente con e velocità quadratiche medie del gas (qui N = 1 molecola).
L'aumento di entropia dipende dal numero di gradi di libertà del gas, ovvero la perdita di informazione dovuta al disperdesi dei valori delle velocità va considerata per ogni possibile grado di libertà della molecola.
Esercizi
- Cosa succede della distribuzione se raffreddo il gas? e della sua entropia?
- Per quale distribuzione la perdita di informazione, o informazione necessaria per conoscere la classe di velocità, o ancora Entropia è massima?
- Cosa succede dell'entropia totale se considero una mole di gas? [Risposta: siccome per ogni molecola ho una data perdita di informazione, per il complesso delle molecole...]
- Sapresti calcolare l'aumento di entropia S per una mole di gas in J/K?
- ** Le velocità del gas sono state divise in 8 classi: cambia qualcosa per la singola molecola se le classi diventano 16? [Risposta: le classi diventano 2^4=16 ma le probabilità per ogni classe passa da 1/8 a...]
- *** Aumentando il numero di classi e assegnando le velocità secondo la distribuzione di Maxwell-Boltzmann il calcolo della simulazione si avvicina maggiormente al valore teorico: perché?