stelling van Marden
aantal nulwaarden van een derdegraadsfunctie
De functie f(x)=(x - 1)(x - 2)(x - 3) heeft 1, 2 en 3 als reële nulwaarden.
De functie f(x)=(x - 1)(x - 2)(x - 3) + 10 heeft enkel -0.31 als reële nulwaarde.
Verruimen we de oplossingenverzameling van naar , dan vinden we met het CAS-commando COplossen[f=0] drie complexe wortels en die vertonen een heel merkwaardige eigenschap:
stelling van Marden
"De nulpunten van de afgeleide van een derdegraadsfunctie waarvan de complexe nulpunten niet op één rechte liggen zijn de brandpunten van de ellips, ingeschreven in de driehoek die gevormd wordt door de nulpunten van deze veeltermfunctie."
niet op één rechte
De voorwaarde van de stelling is dat de nulpunten van de derdegraadsfunctie niet op één rechte liggen, of anders gezegd niet-collineair zijn. Zijn ze dat wel, dan vormen ze natuurlijk geen driehoek. Voorbeelden zijn:
- f(x) = x³ heeft slechts één nulpunt.
- f(x) = x²(x - 1) heeft slechts twee nulpunten.
- f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) heeft drie reële nulpunten die alle op de x-as liggen.