나머지정리와 인수분해
1. 항등식과 미정계수법
항등식은 과 같이 문자를 포함하는 등식에서 그 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식이다. 일반적으로 항등식에는 다음과 같은 성질이 있다.
- 이 에 대한 항등식이면 이다.
- 이 에 대한 항등식이면 , , 이다.
등식 가 에 대한 항등식이 되게 하는 상수 , 의 값을 구하는 과정을 알아보자. 아래 지오지브라 애플릿의 각 행에 다음을 순서 대로 입력하면 상수 , 의 값을 얻을 수 있다.
A(x):=a (x-1)^2+b (x-1)-1
B(x):=x^2+3x-5
풀기({A(2)=B(2),A(0)=B(0)},{a,b}) 또는 Solve({A(2)=B(2),A(0)=B(0)},{a,b})
a와 (x-1)^2 사이, b와 (x-1) 사이는 띄어 써야 한다. 두 등식 , 은 와 에 관한 방정식이므로 풀기(Solve) 명령을 이용하여 연립방정식을 해결한 것이다.수치대입법 연습하기
2. 나머지정리
다항식 를 일차식 로 나누었을 때의 몫을 , 나머지를 이라 하면
(은 상수)
와 같이 나타낼 수 있다. 이 등식은 에 대한 항등식이므로 양변에 를 대입하면이다. 이처럼 다항식을 일차식으로 나누었을 때의 나머지는 나눗셈을 직접 계산하지 않고도 쉽게 구할 수 있다. 다항식의 나눗셈에서 나머지는 나누는 식보다 차수가 적으므로 어떤 다항식을 이차식으로 나누었을 때의 나머지는 일차식이거나 상수이다. 따라서 다항식 를 이차식 로 나눈 나머지를 라 하면 이며, 몫을 라 하면 은 항등식이고 앞서 학습한 수치대입법을 이용하여 를 구할 수 있다.
도전 문제: 다항식을 이차식으로 나누었을 때의 나머지 구하기(CAS 이용)
다항식 를 로 나누었을 때의 나머지가 이고, 로 나누었을 때의 나머지가 이다. 를 로 나누었을 때의 나머지를 아래 지오지브라 애플릿에 구해보자.
도전문제 해결하기
3. 인수분해
하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라고 한다. 지오지브라의 CAS를 이용하면 복잡한 다항식도 간단하게 인수분해 할 수 있다.
아래의 지오지브라 애플릿의 두 다항식 와 을 인수분해 하기 위해 3행과 4행에 다음과 같이 명령어를 입력하여 보자.
인수분해(A) 또는 Factor(A)
인수분해(B) 또는 Factor(B)