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M11 - Newton-Verfahren

Auteur :Manuel_Müller
Manchmal lassen sich die Nullstellen einer Funktion f nicht oder nur schwer durch Lösen der Gleichung f(x)=0 bestimmen. Mithilfe des Newton-Verfahrens, lässt sich eine Nullstelle aber beliebig genau nähern, wenn man den Startwert des Verfahrens passend wählt. Die Idee des Newton-Verfahrens ist, dass man die Funktion f durch diejenige lineare Funktion annähert, die in der Nähe der Stelle am besten zur Funktion f passt. Der Graph dieser linearen Funktion ist gerade die Tangente an den Graphen von f an der Stelle . Die Nullstelle dieser linearen Näherungs-Funktion lässt sich leicht bestimmen und stellt den neuen Näherungswert für die Nullstelle dar. Die Funktion f wird nun wieder durch diejenige lineare Funktion genähert, die in der Nähe dieser Stelle am besten zu ihr passt. Dann wird wiederum die Nullstelle dieser linearen Funktion als neuer Näherungswert verwendet. Das Verfahren kann beliebig oft durchgeführt werden, um immer bessere Näherungswerte zu erhalten. Ob das allerdings gelingt, hängt von der Wahl des Startwertes ab.
Wir wollen nun die Berechnungsvorschrift für die einzelnen Näherungswerte , , , ... der Nullstelle ermitteln. Dazu wollen wir uns im konkreten Fall ansehen, wie wir den Näherungswert berechnen können, wenn wir den Funkttionsterm und den Startwert kennen.
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Welche Steigung m besitzt die orange gestrichelte Tangente?

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Wie groß ist der Wert des eingezeichneten Steigungsdreiecks?

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Wie groß ist der Wert des eingezeichneten Steigungsdreiecks?

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Wenn wir nun mit den eben gesammelten Erkenntnissen die Gleichung für die Steigung der Tangenten aufstellen, können wir diese nach umstellen. Wie lautet dann die Berechnungsformel für ?

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Wenn wir nun bereits den n-ten Näherungswert kennen und nun den (n+1)-ten Näherungswert ermitteln wollen. Wie lautet dann die Berechnungsformel?

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Weiterführende Aufgaben

Betrachte die Funktion mit und führe das Newton-Verfahren für den Startwert durch. Notiere deine Beobachtung.

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Betrachte weiterhin die Funktion mit . Überlege, für welche Startwerte der Wert nicht definiert ist und das Newton-Verfahren somit abbricht. Überprüfe deine Vermutung anschließend mithilfe des Applets.

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