Euler-Verfahren für ein mathematisches Pendel
- Autor:
- Andreas Lindner
Schrittweise Berechnung mit dem Euler-Verfahren
Euler-Verfahren
tneu = talt + Δt
vneu = valt + aalt·Δt
sneu = salt + vneu·Δt
aneu = -sneu
(t Zeit, s Ort, v Geschwindigkeit, a Beschleunigung)
Aufgabe
Verändere mit den Schiebereglern die Parameter für die Bewegung des Pendels.
Wie verändert sich die Genauigkeit der Berechnung für kleineres oder größeres Δt?
Das mathematische Pendel - exakte Lösung
Wie man im oberen Applet sieht, wird die Amplitude der Schwingung beim Euler-Verfahren vor allem bei größeren Zeitschritten immer größer. Das entspricht einem Aufschaukeln des Pendels und entspricht in keiner Weise der Realität.
Exakte Lösung der Bewegungsgleichung
Für ein mathematisches Pendel mit der rücktreibenden Kraft F = -k·x, die proportional zur Auslenkung ist, lautet die Bewegungsgleichung
Die Lösung der Bewegungsgleichung ergibt die harmonische Schwingung
x(t) = A·sin(ωt+φ)
mit . Der Einfachheit halber sind hier k = m = 1 gesetzt.
Aus den beiden Gleichungen
folgt
und
Halbschritt-Verfahren
Ein wesentlich besseres Ergebnis liefert die Halbschrittmethode.