Einen Torus mit √2 wickeln
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books "Loxodrome" ? Oder nicht ? (03.01.2020)
Ein Torus entsteht durch Rotation eines kleinen Kreises mit Radius um eine Achse, welche in der Kreisebene liegt. Der Mittelpunkt des kleinen Kreises bewegt sich dabei auf einem Kreis um die Achse mit Radius . Ist , so liegt ein Ring-Torus vor: die Achse hat mit dem rotierenden Kreis keinen Punkt gemeinsam.| Ein Ring-Torus ist das konforme Bild eines Rechtecks mit den Seiten , wenn die Verhältnisse übereinstimmen. Aus der Zeichnung: |
|
Eine konforme Abbildung ist
mit und
Konform bedeutet winkeltreu, dh. die Winkel zwischen Geradenstücken im Rechteck stimmen mit den Winkeln zwischen den Bildkurven der Abbildung überein.
Die senkrechten bzw. die waagrechten Geradenstücke werden abgebildet auf die Quer- bzw. Längskreise auf dem Torus.
Die Bilder der schrägen Geradenstücke schneiden diese Kreise unter konstantem Winkel, es sind die Torus-Loxodrome.
Ist die Steigung dieser Geradenstücke ein rationales Vielfaches von , dh. gilt für , so sind die Kurven geschlossen - ein hinreichend großes Parameterintervall vorausgesetzt. Diese Loxodrome winden sich also endlich oft um den Torus.
Für erhält man einen Villarceauschen Kreis.
Ist die Steigung ein irrationales Vielfaches von , so sind die Loxodrome unendlich lang (theoretisch): sie winden sich unendlich oft und dicht um den Torus.
Im Applet oben ist , der Torus wird mit Hilfe der irrationalen Zahl "eingewickelt"! Der Parameterbereich für die gelben Loxodrome ist mal so groß wie der für die schwarzen mit der Steigung .
Natürlich wirkt es sich für große Parameterintervalle aus, dass auch die ge
gebra- nur ein Näherungswert ist!
Würde sich ein erkennbar anderes Wickelbild ergeben, wenn als Faktor
sogar eine transzendente Zahl, etwa oder gewählt würde?
gebra- nur ein Näherungswert ist!
Würde sich ein erkennbar anderes Wickelbild ergeben, wenn als Faktor
sogar eine transzendente Zahl, etwa oder gewählt würde?