二次曲線の極に関するポンスレの定理
ポンスレの定理「円Oに関するPの極線をABとするとき、AB上の一点P'の極線はPを通る」 「Pを通る円Ｏの弦の接線の交点はこの極線の上にある」 同様にアポロニウスの定理も言える（Ｐを円Ｏの中に入れる場合）。 では、PとP’の極線の交点の極線はどうなるか？
ポンスレの定理の証明
ＰからＯＰ’へ垂線を引く。
交点をＣとすると、ＣとＤが直角なのでＰ,Ｐ’を通る円が作図できる。
△ＯＤＰ’∽△ＯＣＰなので、ＯＰ：ＯＣ＝ＯＰ’：ＯＤ
ＯＰ・ＯＤ＝ＯＰ’・ＯＣ＝ｒ２
よって、ＣＰと円Ｏとの交点をＧとすると、∠Ｇは直角になりＰ’Ｇは接線。
したがって、Ｐ’の極線はＰを通る。
これは逆も言える。