Intervalos para estimar la proporción, con un determinado valor de confianza.
1. Problema EBAU Asturias 2017, Opción A, Problema 4.
En una piscifactoria se desea estimar el porcentaje de peces pequeños. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 700 peces y se encuentra que exactamente 70 de ellos son pequeños.
- Halla con un nivel de confianza del 99 %, un intervalo para estimar la proporción de peces pequeños en la piscifactoría.
- En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación?
- Considerando dicha muestra ¿qué le ocurriría al error de estimación si aumentase el nivel de confianza?
- Y si aumentase el tamaño de la muestra, manteniendo los 70 peces pequeños.
2. Construcción de GeoGebra para resolver el problema.
Constuimos una actividad con GeoGebra que nos permite resolver el problema.
3. Resolución del problema.
1. Los pasos que seguimos son:
A) Si el nivel de confianza es del 99 % el valor crítico asociado es . En el ejercicio aparece 2,576 por cuestiones de redondeo en GeoGebra, al ser más exacto.
B) Calculamos la distribución normal que corresponde a las proporciones. En la actividad vemos la fórmula que hay que emplear. La normal que utilizaremos, será la N(0.1,0.011).
C)Calculamos el intervalo que corresponde al 99 % de nivel de confianza, utilizando la fórmula de la actividad. Este intervalo es (0.071,0,129).
2. El error de estimación es el valor que se le suma y resta a la pr, en el intervalo de estimación. Este valor se puede ver en la actividad que vale 0.029.
3. Si aumentamos el nivel de confianza, el valor también aumentaría, por lo que el intervalo de estimación sería mayor. Puedes ayudarte del deslizador que hay debajo del nivel de confianza, en la actividad de GeoGebra, para ver lo que sucede cuando aumentamos y disminuimos el nivel de confianza. Ten en cuenta que al ser el nivel de confianza del 99 % queda ya muy poco por mover el deslizador hacia la derecha. Si lo llevamos al final (100 %), el intervalo sería toda la curva. Podemos mover el deslizador a la izquierda, disminuyendo el nivel de confianza y veremos que el intervalo es menor.
4. Si aumentamos el tamaño de la muestra, manteniendo el número de peces pequeños, haremos más pequeño el error de estimación (error admisible) por que la fracción se hará más pequeña. Por tanto, al disminuir el error admisible haremos el intervalo más pequeño.
4. Conclusión.
La actividad de GeoGebra se ha construido para que se pueda estimar intervalos de la proporción, con otros ejercicios de proporciones. Los valores de el tamaño de la muestra, los individuos que cumplen la condición del problema, el nivel de confianza, se pueden modificar y adaptar a otros problemas, por lo que se puede utilizar la construcción en otros ejercicios.