Derivabilità e continuità
TEOREMA
Data una funzione e un punto , se la funzione è derivabile in allora in quel punto sarà anche continua.
DIMOSTRAZIONE
Per ipotesi la funzione è derivabile in , quindi
Essendo un numero, lo si porta a primo membro dell'uguaglianza e all'interno del limite, ovvero
da cui facendo il mcd si ottiene:
Se si analizza quest'ultima espressione si può affermare che:
- il denominatore tende evidentemente a zero con ordine d'infinitesimo 1
- il valore del limite è zero
ANALISI delle IPOTESI e TESI
In generale invertendo ipotesi e tesi del teorema, la proposizione non vale, ovvero non è detto che se una funzione è continua in allora in quel punto sia anche derivabile.
Nell'attività proposta nel controesempio si osserva come la derivata sinistra e destra in x=0 siano diverse, quindi anche se la funzione è continua in 0 non è derivabile.
ISTRUZIONI
Muovi il punto x sull'asse delle ascisse e osserva come varia la derivata.
CONTROESEMPIO
CONCUSIONE
La derivabilità è pertanto una proprietà più "forte" della continuità, ovvero la continuità è condizione necessaria per la derivabilità (non sufficiente).