E 06 Legyen adott egy háromszög ...
Egy háromszög egyértelmű megadása
Mint láttuk (itt, 2. app.), az A és B E-pont két E-szakaszt határoz meg, így egy szakasz egyértelmű megadásához fel kellett vennünk az (AB) E-egyenesen egy harmadik pontot, amellyel lényegében "kijelöljük", hogy az egyenes két szakasza közül melyik az amellyel pl. további teendőnk van.
- Azt is láttuk (pl. itt, 2. app.), hogy az E-sík három általános helyzetű pontja három E-egyenest határoz meg. Ha nincs szükségünk arra, hogy a három egyenessel felosztott E-síkrészekkel foglalkozzunk, akkor ezt a három E-pontból és három E-egyenesből álló geometriai alakzatot nevezzük E-háromszögnek - mint pl. a projektív geometria fogalomtárában.
- Most azonban ki szeretnénk alakítani az E -háromszöglap fogalmát, egyértelművé téve, hogy mit értsünk egy háromszöglapon, miként választja el három E-egyenes a rá nem illeszkedő E-pontokat. Legyen b_0 az (AC) E-egyenesnek az a szakasza amely tartalmazza az egyenes B_0 pontját, továbbá legyen c_0 az AB egyenes C_0-t tartalmazó szakasza! A (B,B_0) és (C,C_0) egyenesek metszéspontja legyen D.
- Belátható, hogy erre a geometriai konstrukcióra érvényes az euklideszi geometria rendezési axiómái közül az un. Pash axióma, miszerint ha egy egyenes nem illeszkedik a háromszög egyik csúcsára sem és egyik oldalát metszi, akkor metsz pontosan egy másikat is. Jelen esetben pl. a B,C,C_0 háromszög C,C_0 oldalát metszi D-ben az (AD) egyenes, így metszi (BC)- t is. Az (A,D) és (B,C) egyenesek A_0 metszéspontja egyértelműen kijelöli az A és B pontok szakaszai közül azt az a_0 szakaszt, amely b_0 -al és c_0-al együtt az ABCΔ három oldala lesz. Eszerint egy E-háromszög(lap) egyértelműen megadható a két félig kötött (itt: B_0 és C_0)- ponttal, vagy magával a D ponttal: Az ABC háromszöglap az a geometriai alakzat, amelyet nem választanak el D-től az adott (AB), (BC) és (CA) E-egyenesek pontjai.
- - 8. A célunk azonban az, hogy ne csak egy háromszöget "jelöljünk meg", hanem különböztessük meg mind a négyet, amelyeket az A, B, C pontokra illeszkedő egyenesek határoznak meg, és amelyek együtt lefedik az egész E-síkot. Ehhez adjuk meg a b=(AC) egyenesnek azt a (B_1,B_2) pontpárját amelyek az (A,C) pontpárral elválasztó pontpárokat alkotnak. Ugyanígy legyen a (C_1,C_2) pontpár a (A,B) pontpár elválasztó pontpárja. Így a 2. és 3. lépés szerkesztéseit kell rendre négyszer megismételnünk. A 8. lépésben összegeztük a 4.-7. lépés eredményét, előállítva a négy háromszög egy-egy belső pontját. Megjegyezzük, hogy mindez a dinamikus szerkesztés szempontjából érdekes, elegendő lett volna a c=AB és b=CA egyenesek szakaszainak a felezőpontjait használnunk az E-szakaszok egyértelmű megjelölésére. Bár... akkor nem derült volna ki, hogy a háromszöglapok kijelölésére kapott négy pont mozgatható.
Figyeljük meg, hogy...
... a fenti applet lényegében arra volt jó, hogy a három ponttal megadott négy háromszög minden lapjára rajzoljunk egy-egy (jó nagy, szines) pontot, amellyel a háromszöglap megkülönböztethető az összes többitől. Ez a 8. lépésben válik igazán egyértelművé. Az applet kezdő állapotában az a lap kapta a sárga színt, amelynek egyik oldala sem metszi a modell alapkörét. (Minden esetben pontosan egy ilyen háromszöglap van.) A másik három háromszög, amelyet - aki figyelmesen követte az eddigieket tudja, hogy csak látszólag - szétszakít a modell alapköre, úgy kapta a piros, zöld, kék színt, ahogy azt a sárgával közös határvonala is rendre piros, zöld, kék.
Végül is ez csak játék a formákkal, de hogy komoly játék, az abból látszik, hogy ha az A, B C pontokat alaposan megmozgatjuk, attól ez a szín elrendezés nem változik: minden esetben az a sárga lap, amely "nem szakad a szét".
Ez bizony vitatható konvenció, ha egyáltalán annak nevezhető.
Legyen adott egy háromszög ... --- két oldalával és a közbezárt szögükkel!
A "legyen adott", eddig azt jelentette, hogy "ott van" az E-modell alapkörén belül. Most numerikus adataival - azaz szögeivel - fogjuk megadni az ABCΔ-et, ahol 0°<α =CAB∢<180° , 0°<α , 0<b és 0<c adattal és az ugyanoda helyezett A csúccsal indul a vizsgálat. Javasoljuk olvasóinknak, hogy éljenek a változtathatóság lehetőségével.
A szerkesztés során gyakran fogjuk használni az ED() saját eljárást, amelynek a bemenő adata a szerkesztendő E-szakasz kezdőpontja, a szakaszra illeszkedő egyenesnek egy tetszőleges pontja, és a keresett szakasz fokokban mért mértéke.
- (√Szerkesztés) Legyen B_0 az A csúcs p_A poláris egyenesének a k alapkörrel alkotott egyik metszéspontja. A ◀ jelű P_c pont az A,B_0 E-egyenes polárisa: P_c=PP(EE(A,B_0)), így az A,B_0,P_c Δ kvadrát háromszög, amelybe α≤90° esetben "beleférne" a keresett ABCΔ. Némi előrelátással a B csúcs helyett előbb az AB oldal felezőpontját szerkesztettük meg: F_c=ED(A,B_0,c/2), majd B-t, amely A-nak F_c-re vonatkozó tükörképe: B=ET(A,F_c) . Ezután a p_A=EP(A) E-egyenesre "felmérve" kaptuk a C_0=ED(B_0,P_c, α) pontot, majd ebből ugyanúgy F_c-t végül C-t. A felezőpontokra azért volt szükségünk, hogy ezeket felhasználva megkapjuk az ABCΔ S súlypontját majd ebből az (A,S) és (B,C) E-egyenesek metszéspontjaként a háromszög a=BC oldalának az F_a felezőpontját. (Itt kissé előre szaladtunk: a következő anyagban fogjuk megmutatni, hogy S valóban az ABCΔ súlypontja.) (√ABCΔ) A háromszög csúcsainak és oldalfelezőpontjainak az ismeretében elegendő azt a GeoGebra parancsot használni amely a két végpontja és egy belső pontja ismeretében adja meg az E-háromszög egy oldalát. Pl.: a=Körív2(B,F_a,C) Figyeljük meg, hogy az adatok változtatása és az A pont mozgatása közben a kapott háromszögbe valóban nem metsz bele a modell alapköre.
- (√ABCΔ) (√T_O(ABCΔ)) Ha az A, B, C pontokat rendre tükrözzük az ugyancsak mozgatható O pontra, megrajzolhatjuk a pontokhoz tartozó oldalegyeneseket, amelyek - mint tudjuk - négy E-háromszöglapra osztják a síkot. Kizárólag az A',B', C' pontok ismeretében nehezen tudnánk eldönteni, hogy közülük melyik az ABCΔ -lap centrális tükörképe. de...
- (√Szerkesztés), (√ABCΔ) (√T_O(ABCΔ)) ... ha a csúcsokkal együtt az élek felezőpontjait is tükrözzük, akkor az azonosítás egyértelművé válik. A Körív2() paranccsal, megrajzolhatók az ABCΔ-el egybevágó A'B'C'Δ oldalai is. ezt már olykor "ketté metszi" ?? a modell alapköre.