Celdillas de volumen constante
Una vez hemos considerado la conexión de los rombos para las celdillas de las abejas, nos podemos plantear cuál de esos rombos será el mejor. Una forma de abordarlo es plantearlo como un problema de economía, las abejas necesitan mucho esfuerzo para fabricar la cera de las paredes y quieren almacenar una determinada cantidad de miel por lo que buscaremos que la superficie sea la menor posible para un determinado volumen.
En el siguiente applet veremos que la celdilla que hemos construido contiene siempre el mismo volumen de miel sea cual sea el rombo elegido para cerrarla
Con el primer deslizador modificamos la inclinación y la forma de los rombos que realizan el cierre de los prismas, van desde una solución plana a otras cada vez más puntiagudas.
La casilla de control "Ver valores" nos presenta los ángulos del rombo, la superficie y el volumen del prisma incluido su cierre.
En el centro, tenemos la visión 3D y a la derecha tenemos la gráfica que relaciona el área exterior de la celdilla (incluye seis trapecios rectángulos y tres rombos) con la altura del vértice superior. Esta gráfica nos informa que el menor valor de la superficie se consigue cuando los rombos forman una de las regiones del dodecaedro rómbico.
El segundo deslizador inicia una animación que pretende mostrar que el volumen de la celdilla no varía sea cual sea el vértice superior de la celdilla que es el que se utiliza para crear los rombos.
Modifica los rombos con el primer deslizador y revisa para cada caso la idea que se expone al girar las tres pequeñas pirámides y su relación con el volumen de la celdilla.
Observa la rotación de las tres pequeñas pirámides alrededor de la diagonal menor de cada rombo y explica qué tiene que ver con el volumen de la celdilla
Un problema de optimizacion
Roberto Cardill en su artículo Una propiedad de mínimo en los panales de abejas nos muestra paso a paso el proceso para transformar esta situación geométrica en un problema de optimización, ¿cuál debe ser la altura de la pirámide para que el área sea mínima?.
En el desarrollo de la explicación se obtiene que el área de la región que conecta las celdillas (parte del dodecaedro rómbico) es una función que depende de la altura de la pirámide y del lado del hexágono. Para que sea mínima derivamos y se encuentra el valor óptimo de de esa altura (en la escena representada por h1=h2, su valor se ve en color verde al pulsar sobre la casilla de control "Ver valores"). Resulta ser el mismo que aquí obtenemos al pulsar sobre el botón "Dodecaedro rómbico".
Esta actividad pertenece al libro La geometría del panal de José Antonio Mora.