Hexagramme étoilé
étoile de David
L'hexagone régulier ABCDEF, inscrit dans le cercle circonscrit de centre O et de rayon r, est composé de 6 triangles équilatéraux de côtés r, d'aire s.
L'aire de l'hexagone est S = 6s.
En prolongeant les côtés de l'hexagone, on trouve six points d'intersection A', B', C'... On obtient six pointes, triangles équilatéraux de cotés r.
L'étoile de David AA'BB'CC'DD'EE'FF' est formée de l'hexagone et des 6 pointes. Son aire, réunion de 12 triangles équilatéraux, est 12 s = 2S, soit le double de l'aire de l'hexagone.
L'hexagramme A'B'C'D'E'F' est un hexagone régulier obtenu en complétant l'étoile par six triangles isocèles de petits côtés r et d'angle 120°.
Par exemple, les triangles A'BB' et BCB' ont même base r et même hauteur, celle du triangle équilatéral, ils ont donc même aire s.
La somme des aires des triangles isocèles est 6s = S. A'B'C'D'E'F a pour aire 2S + S = 3S.
Le rapport d'agrandissement des hexagones est donc .
Descartes et les Mathématiques - Polygone régulier