Kubische Splines LGS Matrix
Einen optimierten Algorithmus zur Splineberechnung kann man z.B. bei Arndt Brünner oder in meinem Artikel Splines Tridiagonal Matrix nachlesen und meine Umsetzung für ggb Javascript verwenden.
In diesem Beispiel geht es um die Darstellung der grundsätzlichen Überlegungen einen kubischen Spline über abschnittsweise definierte kubische Polynome zu beschreiben. Im CAS erhalte ich darüberhinaus exakte Ergebnisse!
4 Punkte A0...A3 werden durch 3 kubische Parabeln verbunden
Pro Parabel sind 4 Koeffizienten aij zu bestimmen - insgesamt sind 3*4=12 Gleichungen zu finden und das Gleichungssystem zu lösen:
2 Gleichungen (5.2), (5.3) (Zeile.Gleichg)
2 Gleichungen (6.1), (6.2)
2 Gleichungen (7.1), (7.2)
Für "glatte" Übergänge an den Stützstellen müssen Steigung und Krümmung der Parabeln gleich sein
2 Gleichungen (5.4), (5.5)
2 Gleichungen (6.3), (6.4)
Randbedingungen (für natürliche Splines) [ ]
2 Gleichungen (5.1), (7.3)
Randbedingungen (für periodische Splines) [√]
Randbedingung (vollständige Splines)
[ ] Steigung links Ao ↤m0↦, rechts An ↤mn↦
(8) LGS gesamtes Gleichungssystem
(9) Lösung LGS
(10)(11)(12) Koeffizienten in Parabelgleichung eingesetzt
(13) Koeffizientenvektor a
(14) Matrix für LGS in Matrixform A a = b
Das LGS nach Funktion geordnet
In dieser Form lässt sich der Algorithmus wohl einfacher verallgemeinern.
Die Gleichungen erstelle ich durch User-Def Funktionen: z.B. 1. Polynom zwischen A_0...A_1:
Anpassung an unterschiedliche viele Stützpunkte A_0...A_9
Beispiel LGS für 5 Stützstellen A_0...A_4
In Algebra View (Splineabschnitte zusammensetzen)
If(x < x(A_1), f1(x), If(x ≤ x(A_2), f2(x), If(x ≤ x(A_3), f3(x), If(x ≤ x(A_4), f4(x), f5(x)))))
http://www.tm-mathe.de/Themen/html/funnatsplines.html
| | p(k,x_i) Splinepolynom k an der Stützstelle x_i |
| | dp(k,x_i) 1. Ableitung Splinepolynom k an der Stützstelle x_i |
| | ddp(k,x_i) 2. Ableitung Splinepolynom k an der Stützstelle x_i |
| Lege eine Liste der Stützpunkte an | L:={A_0,A_1,A_2,A_3,A_4,A_5}; |
| n Splinepolynome | n:=Length(L)-1 |
| Wandle Punkte A_i in Liste S | S:=Sequence(Flatten(Vector(Element(L, k))),k,1,n+1); |
| Abgreifen der Koordinaten der Punkte XY(i,1) = x(A_i) und XY(i,2) = y(A_i) i=0..n | XY(ii,jj):=Element(S, ii+1,jj); |
| 11 | {ddp(1,x(A_0))=0, | Randbedingung A_0 2. Ableitung=0 | A1:={ddp(1,XY(0,1))=0} | |
| 12 13 | p(1,x(A_0))=y(A_0), p(1,x(A_1))=y(A_1), | Spline-Polynome gehen durch die Stützstellen A_0...A_n | A2:=Sequence(p(kk,XY(kk-1,1))=XY(kk-1,2),kk,1,n ) A3:=Sequence(p(kk,XY(kk,1))=XY(kk,2),kk,1,n ) | |
| 21 22 | p(2,x(A_1))=y(A_1), p(2,x(A_2))=y(A_2) | von Stützpunkt zu Stützpunkt | | |
| 31 32 | p(3,x(A_2))=y(A_2), p(3,x(A_3))=y(A_3), | | | |
| 41 42 | p(4,x(A_3))=y(A_3), p(4,x(A_4))=y(A_4), | | | |
| 14 23 33 | dp(1,x(A_1))-dp(2,x(A_1))=0, dp(2,x(A_2))-dp(3,x(A_2))=0, dp(3,x(A_3))-dp(4,x(A_3))=0, | An den Stützstellen A_1...A_n-1 gleiche Steigung 1. Ableitung gleich | A4:=Sequence(dp(kk,XY(kk,1)) ,kk,1,n-1)-Sequence(dp(kk+1,XY(kk,1)),kk,1,n-1) | |
| 15 24 34 | ddp(1,x(A_1))-ddp(2,x(A_1))=0, ddp(2,x(A_2))-ddp(3,x(A_2))=0, ddp(3,x(A_3))-ddp(4,x(A_3))=0, | An den Stützstellen A_1...A_n-1 gleich Krümmung 2. Ableitung gleich | A5:=Sequence(ddp(kk,XY(kk,1)) ,kk,1,n-1)-Sequence(ddp(kk+1,XY(kk,1)),kk,1,n-1) | |
| 43 | ddp(4,x(A_4))=0} | Randbedingung A_n 2. Ableitung = 0 | A6:={ddp(n,XY(n,1))=0} | |
| Gleichungssystem lösen Splinepolynome erstellen | SPL:=Solve(Join(A1,A2,A3,A4,A5,A6),Take(Pa,1,4n)) f_i(x):=Substitute(p(i, x),SPL) |
