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Médiane de l'un hauteur de l'autre

Énoncé : BOA est un triangle quelconque, OAC et OEB sont deux triangles rectangles en O, isocèles à l'extérieur de BOA. et sont les milieux des hypothénuses et I le milieu de [AB]. Montrer que la médiane [OI] de BOA est hauteur du triangle ECO et que CE = 2 OI.

Démonstration

Symétrique d'un sommet par rapport à O Introduire le symétrique A’ du point A par rapport à O. La rotation de centre O d'angle  transforme E en B, C en A’ et [EC] en [BA’]. Conclure avec (OI) droite des milieux du triangle ABA’ (homothétie de centre A et de rapport  ). Hauteur de l'un, médiane de l'autre Deux carrés autour d'un triangle - hauteurs - médianes Figure du moulin à vent Descartes et les Mathématiques - Les problèmes du BOA