X(77) Isogonal conjugate of X(33)

isogonal conjugate of X(33)

X(33) is the perspector of the orthic and the intangents triangles.

The orthic triangle is the triangle formed by the feet A'', B'', and C'' of the altitudes of the triangle ABC.
In triangle ABC, there are four lines simultaneously tangent to the incircle and the A-excircle . Of these, three correspond to the sidelines of the triangle, and the fourth is known as the A-intangent. The intangents triangle is the triangle A'B'C' defined by the intersections of the intangents.
The crossing of the lines A'A'', B'B'' and C'C'' is O, the triangle center X(33).

The isogonal conjugate of O, triangle center X(33) can be constructed as follows:

Reflect the lines AO, BO, CO about the bisectors of the triangle ABC (=blue lines)
These blue lines cross at the triangle center X(77). The barycentric coordinates of this point depend on the lenghts of the sides of the triangle as well as on the angles.

X(33) is het perspectiefcentrum van de hoogtedriehoek en de inwendig rakende driehoek.

De hoogtedriehoek is de driehoek, gevormd door de voetpunten A'',B'' en C'' van de hoogtelijnen van de driehoek ABC.
In de driehoek ABC zijn er vier rechten die zowel raken aan de ingeschreven cirkel als aan de A-aangeschreven cirkel. Drie hiervan zijn de zijden van de driehoek. De vierde is de inwendige raaklijn. De inwendige rakende driehoek is de driehoek A'B'C', bepaald door de snijpunten van de drie inwendige raaklijnen.
De rechten A'A'', B'B'' en C'C'' snijden elkaar in O, het driehoekscentrum X(33)

Het isogonale toegevoegde punt van O, het driehoekscentrum X(33) construeer je als volgt:

De barycentrische coördinaten van dit punt worden zowel bepaald door de lengtes van de zijden van de driehoek als door de hoeken.