El problema de la moneda falsa

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Rompecabezas. En esta actividad puedes resolver el famoso problema de la moneda falsa o problema de las doce monedas, aparecido a mediados del siglo XX:

Tienes 12 monedas, de las cuales una es falsa y es más pesada o menos pesada que las demás. Dispones de una balanza de dos platillos para poder comparar sus pesos. En solo tres pesadas, ¿cómo puedes averiguar cuál es la moneda falsa y si pesa más o menos que el resto?

El problema consiste no tanto en resolver la cuestión para las 12 monedas como en hallar un procedimiento sistemático que permita descubrir, por ejemplo, una moneda falsa entre 3000 en solo ocho pesadas. Para ello usaremos el sistema ternario, es decir, la notación numérica en base 3. El procedimiento consiste en anotar 0 cada vez que baje el platillo izquierdo, 2 cada vez que baje el platillo derecho y 1 en caso de equilibrio. Así, en tres pesadas, necesitaremos todos los números (en base 3) del 000 al 222, es decir, del 0 al 26. En general, en p pesadas, necesitaremos 3^p-1 números (llamaremos a este número el número clave). Ahora bien, las pesadas 021 y 201 (ambas suman el número clave) son complementarias, en el sentido de que ambas señalan a la misma moneda (solo que en un caso pesa más y en otro pesa menos que el resto). El número 000 sobra, así que con p pesadas podemos descubrir la moneda falsa entre un máximo de (3^p-1)/2-1 números. Además, 111 corresponde al caso en el que no hay moneda falsa. Resumiendo, con 2, 3 y 4 pesadas podemos descubrir, respectivamente, la moneda falsa entre 3, 12 y 39 monedas. Ahora numeramos las monedas de 001 a 221 y las distribuimos en ambos platillos, de forma que en cada pesada todas cuya notación ternaria contenga el 0 (en la cifra correspondiente a esa pesada) estén en el platillo izquierdo y todas las que contengan el 2 estén en el platillo derecho.

Platillo izquierdo	Platillo derecho		Platillo izquierdo	Platillo derecho
002 011 021 022	221 202 212 210	que corresponde a:	2 4 7 8	25 20 23 21
002 202 100 101	221 120 021 022		2 20 9 10	25 15 7 8
110 120 100 210	002 202 212 022		12 15 9 21	2 20 23 8

En el caso de disponer de un número de monedas que no sea el máximo permitido (3, 12, 39...), podemos elegir adecuadamente y suprimir monedas en grupos de tres. La siguiente construcción aplica este método. Elige mentalmente una moneda que haga de moneda falsa y decide si va a pesar más o menos que el resto. Después, indica en qué platillos se encuentra usando los botones Baja el platillo izquierdo (o bien se encuentra en este platillo y es más pesada o bien se encuentra en el otro y es menos pesada), Hay equilibrio (no se encuentra en ningún platillo) y Baja el platillo derecho según corresponda en cada pesada.

Si el número de monedas no es múltiplo de tres, el proceso se complica un poco, ya que es necesario descartar algunos números. Pueden verse los detalles en este artículo del número 33 de la revista Suma (febrero de 2000). Para observar el método en acción con más de 39 monedas (hasta 1000), usa este applet de Java (atención: en el día en que esto escribo, los applets de Java solo son visibles con el navegador IExplorer, y además necesitarás agregar, como excepción de seguridad en la configuración de la consola de Java, la dirección web de ese applet).

Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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