Teoremi sulle funzioni derivabili
OBIETTIVO: CAPIRE L'ANDAMENTO IN UN INTERVALLO STUDIANDO LA DERIVATA NEI SINGOLI PUNTI
In questo paragrafo studieremo alcuni teoremi fondamentali sulla derivata, che ci permetteranno di capire come utilizzarla per studiare una caratteristica essenziale delle funzioni.
Abbiamo visto che la derivata è una funzione che per ogni valore di input restituisce l'inclinazione del grafico della funzione in quel punto, cioè il coefficiente angolare della retta tangente. Questo ci permette di avere un'idea dell'andamento della funzione in quel punto - se la derivata positiva la funzione è "inclinata verso l'alto" e quindi sta crescendo, e viceversa - ma si tratta appunto di un'informazione limitata a quel singolo punto.
La domanda che ci poniamo è: è possibile collegare il valore della derivata in singoli punti (che possiamo calcolare e quindi è a nostra disposizione) ad un comportamento più esteso della funzione, ad esempio al fatto che in un certo intervallo stia crescendo (o decrescendo)?
La risposta è sì, ma vedremo che sono necessarie alcune condizioni affinché questo legame sussista.
Negli esempi qui sotto vediamo come il segno della derivata non sia sufficiente a farci capire l'andamento generale della funzione.
![La derivata della funzione in figura è positiva in ogni punto, dato che la funzione in ogni punto è inclinata verso l'alto.
Tuttavia la funzione NON è crescente sull'intero intervallo, dato che ad esempio il suo valore in [math]x=2[/math] è MINORE del suo valore in [math]x=1[/math]. Si può intuire che la causa del problema sia la presenza della discontinuità, in questo caso di punto all'infinito.](https://beta.geogebra.org/resource/rc4sarmx/zf4KHIpuQ8Vgm3br/material-rc4sarmx.png)
![Una situazione simile: la derivata della funzione, dove esiste, è sempre positiva ma la funzione NON è crescente nel suo complesso - infatti [math]f(1)=2[/math] e [math]f(4)=1[/math] (quindi l'output della funzione è [i]calato[/i] in questo intervallo).
Anche qui abbiamo un punto di discontinuità, in questo caso un "salto".](https://beta.geogebra.org/resource/z3hrmg87/p60UmQybPxqY1I1L/material-z3hrmg87.png)
La dimostrazione del legame tra il comportamento in un intervallo ed il valore della derivata in un punto passa attraverso tre teoremi, che hanno il nome dei tre matematici che li hanno elaborati e si chiamano Rolle, Cauchy e Lagrange. Ogni teorema serve per preparare le basi necessarie e dimostrare il successivo, e l'ultimo permette poi di dimostrare il legame cercato.
Noi in questo capitolo non dimostreremo i teoremi. Ne sceglieremo i due che hanno un significato visivo più immediato e cercheremo di capirne il significato.
IL TEOREMA DI ROLLE: UN PRIMO SEMPLICE CASO NELLA DIREZIONE GIUSTA
Il teorema di Rolle studia il andamento una funzione in un intervallo , ed introduce subito le condizioni necessarie affiché tale andamento sia in qualche modo collegabile al valore della derivata in qualche suo punto: la funzione deve essere
- continua nell'intervallo chiuso (cioè deve essere continua anche negli estremi dell'intervallo)
- derivabile nell'intervallo aperto (cioè non è necessario che sia derivabile anche negli estremi dell'intervallo
IL TEOREMA DI LAGRANGE: IL LEGAME CERCATO NEL CASO GENERALE
Il teorema di Lagrange generalizza quello di Rolle, e mostra in modo esplicito il legame tra l'andamento su un intervallo (e più precisamente ai suoi estremi) e quello in un singolo punto. Affinché questo legame sussista è necessaria, come potevamo già intuire, la continuità della funzione.
Possiamo fare alcune osservazioni:
Il teorema di Lagrange è una generalizzazione di quello di Rolle, o se vogliamo quello di Rolle è un caso particolare di quello di Lagrange: anche in Rolle troviamo un punto interno all'intervallo la cui derivata replica l'andamento tra i due estremi dell'intervallo stesso. Rolle dimostra questo legame solo nel caso particolare di andamento "piatto", Lagrange lo generalizza ad un andamento qualsiasi.
Questi teoremi mettono in relazione l'andamento tra due punti (i due estremi dell'intervallo) ed il valore della derivata in un punto particolare, ma sottolineano che affinché questo legame sussista è necessario che nell'intero intervallo tra i due punti vi sia continuità e derivabilità. Pongono quindi le basi per stabilire quali siano le condizioni per cui il valore della derivata sia effettivamente utile per studiare l'andamento generale della funzione.
Prima di concludere e stabilire questo legame, approfondiamo il teorema di Lagrange per capirne meglio il significato. Nell'animazione seguente mostriamo alcuni controesempi del teorema di Lagrange: nel momento in cui mancano la continuità e/o la derivabilità sull'intervallo, non è più garantito il legame tra derivata nel singolo punto e andamento generale.
NOTA (questa parte blu può essere letta in un secondo momento, ma è consigliata): CONDIZIONE SUFFICIENTE E CONDIZIONE NECESSARIA
Gli esempi visti sopra chiariscono che le ipotesi di Lagrange sono condizioni SUFFICIENTI, ma non necessarie perché la tesi sia garantita. Questo significa che se mancano le ipotesi la tesi potrebbe ancora essere vera (le ipotesi non sono necessarie perché sia vera, quindi possono anche mancare) ma non è più garantito che lo sia. Questa mancanza di garanzia ha comunque un gran peso.
Immaginiamo questo "teorema" pratico.
"Se fai il controllo annuale della bombola del GPL (ipotesi 1) e la cambi ogni dieci anni (ipotesi 2)
ti GARANTISCO che (cioè queste due azioni sono SUFFICIENTI per poter dire che)
(tesi) la tua macchina sarà sicura e non esploderà"
(Ovviamente nella realtà nessuna azione può dare una simile garanzia al 100%, il nostro è un esempio teorico)
Se faccio il controllo ma non sostituisco la bombola, non è detto che la mia macchina non sia lo stesso sicura: non è detto che esploderà per forza! Ma il fatto che io non possa esserne certo rende inutile il controllo che ho fatto: probabilmente non utilizzerò l'auto, o cercherò un altro modo per capire se è sicura o no.
Allo stesso modo se non ho le condizioni di Lagrange (o una di esse) non è detto che non ci sia un punto che "riassume" l'inclinazione della funzione nell'intervallo: potrebbe esserci lo stesso! Ma il fatto che io non possa esserne certo mi costringe ad indagare l'inclinazione della funzione in un altro modo: il teorema di Lagrange non è valido e quindi non mi serve a niente in questo caso.
ALTRO ESEMPIO "pratico": "se hai la patente, sei maggiorenne"
Se mi fai vedere la patente sono sicuro che tu sia maggiorenne (escludiamo il caso in cui tu l'abbia comprata). Se non me la fai vedere (non ho l'ipotesi) non è detto che tu sia minorenne, ma dovrò trovare un altro modo per scoprirlo: il test della patente non mi aiuta in nessun modo.
ANNOTAZIONE FINALE: vi sono teoremi in cui le ipotesi sono condizioni necessarie e sufficienti, quindi se le ipotesi ci sono, ci sono anche le tesi, e se mancano, sicuramente mancano anche le tesi (in altre parole le ipotesi implicano le tesi e viceversa, sono equivalenti). Questi teoremi sono più potenti, ma anche più difficili da dimostrare (hanno una doppia implicazione, da ipotesi a tesi e viceversa, quindi richiedono doppia dimostrazione).
ESEMPI
1) SE respiri, ALLORA sei vivo
2) SE (ipotesi) un polinomio si annulla per , ALLORA (tesi) il polinomio è divisibile per e posso scomporlo in fattori come (teorema di Ruffini)
DAL SEGNO DELLA DERIVATA ALL'ANDAMENTO DELLA FUNZIONE
Compiamo ora l'ultimo passaggio, quello che ci permette di sfruttare il legame descritto dal teorema di Lagrange. Possiamo farlo grazie al seguente teorema
IPOTESI: data una funzione per cui
- vale il teorema di Lagrange in un intervallo (quindi è continua e derivabile)
- la derivata è POSITIVA in tutti i punti dell'intervallo
Giungiamo finalmente alla conclusione: nell'animazione sotto vediamo come negli intervalli in cui vale il teorema di Lagrange (quindi in cui la funzione è derivabile e continua) si può effettivamente concludere che il segno della derivata indichi l'andamento della funzione.
Nel prossimo paragrafo vedremo come utilizzare queste informazioni per definire una procedura per studiare l'andamento della funzione e la presenza di eventuali punti di massimo e minimo.