Kúpszeletek megfeleltetése körrel centrális kollineáció segítségével
Az ábrákon a sárga pontok mozgathatók.
Kapcsolódó ábrák:
Ellipszist igen könnyen körré transzformálhatunk tengelyes affinitás segítségével, ugyanakkor ez a transzformáció nem alkalmas hiperbola és parabola körré transzformálására (tengely affinitás esetén ugyanis az ideális elemek képe ideális elem marad). Centrális kollineáció segítségével viszont bármilyen két kúpszelet között kapcsolatot kereshetünk.
Az alábbi ábrán egy kör perspektív képe látható (az r ellentengely a horizontvonal, a q' ellentengely az eltűnési / semleges vonal megfelelője). A centrális kollineáció ellentengelyeinek ismeretében biztosíthatjuk a perspektív kép ideális (végtelen távoli) pointjainak számát:
- ha a kör nem metszi a q' ellentengelyt, akkor az összes pont képe a végesben marad, a perspektív kép ellipszis,
- egy metszéspont (azaz érintési pont) esetén parabola,
- két metszéspont esetén hiperbola.
1. Körré transzformálás külső ponton átmenő érintők segítségével
Ismerve egy kúpszelet két érintőjét, egy azokat érintő kör segítségével centrális kollineációt határozhatunk meg:
- a centrális kollineáció centruma (C=C') az érintők metszéspontja,
- az azonos érintőn fekvő érintési pontok egymásnak megfeleltethetők (E és E', B és B'),
- az illeszkedéstartás követelményét figyelembevéve további pontpárokat kereshetünk,
- végül ezek segítségével a transzformáció tengelyét (t=t') is meghatározhatjuk.
Megjegyzések:
- A három szerkesztés közül kettő elvégzése egyértelmű: egyenessel való metszés esetén az egyenes, külső pontból húzott érintők esetén a külső pont képét kell megkeresni, majd a megfelelő szerkesztést a körön elvégezni.
- Az adott iránnyal párhuzamos érintők szerkesztése átgondolást igényel: egymással párhuzamos egyenesek metszéspontja egy közös ideális (végtelen távoli) pont, azaz minden irányhoz hozzárendelhetünk egy végtelen távoli pontot. Ennek a végtelen távoli pontnak a képe ugyanakkor a transzformáció elvégzését követően a végesbe kerül, azaz a feladat külső pontból húzott érintők szerkesztésévé alakul a kör rendszerében.
- Ugyanez fordítva is előfordulhat, ha külső pontból húzott érintők szerkesztése esetén a külső pontot éppen a megfelelő ellentengelyen vesszük fel.
2. A szimmetria segítségül hívása
Parabola és hiperbola esetén könnyebb a fenti megfeleltetést elvégezni szimmetrikus pontpárokhoz tartozó érintők segítségével (hiperbola esetén a valós tengely vonatkozásában). A lenti szerkesztésen parabola és kör megfeleltetése látható a fentiekhez hasonló módon, de a szimmetria folytán elegendő két pontpár (P és P', V1 csúcspont és annak V1' képe) a t=t' tengely megszerkesztéséhez (5-6. lépés). Ebben az esetben is két transzformáció közül választhatunk (V1 centrális rendezője két pontban metszi a kört), a másik esetben a transzformáció tengelye nagy eséllyel a rajzlapon kívülre (vagy legalábbis igen messze) esik.
Fontos észrevétel: V2' a parabola végtelen távoli (ideális) pontjának végesbe eső képe, a centrális kollineáció q' ellentengelye ezen a ponton keresztül fel is vehető. Hiperbola esetén az ellentengelyek nem speciális helyzetűek. Az aszimptoták megfelelői a körhöz húzott érintőkként szerkeszthetők helyben maradó pontjuk segítségével (a hiperbola összes pontja a végesbe kerül a transzformáció során).
Megjegyzés: A 8. lépésben a perspektívával kapcsolatos ismereteinket felidézve fontos összefüggést vehetünk észre.
- A PV1 egyenes ideális (végtelen távoli) pontjának végesbe eső képe a q' ellentengelyen található.
- Ebből fakadónak a C=C' centrumot a q' lévő ponttal összekövetve egy PV1 egyenessel párhuzamost kapunk (vö. vízszintes egyenesek iránypontjának szerkesztése).