reeksontwikkeling van f(x) = sin(x) en f(x) = cos(x)
f(x) = sin(x)
- We weten dat: sin'(x) = cos(x) en cos'(x) = -sin (x) sin(0) = 0 en cos(0) = 1
- Berekenen nu de achtereenvolgende afgeleiden van f(x) = sin(x) en hun getalwaarde voor x = 0: sin(0) = 0 sin'(x) = cos(x) met cos(0) = 1 sin''(x) = -sin(x) met -sin(0) = 0 sin³(x) = -cos(x) met -cos(0) = -1 sin4(x) = sin(x) met sin(0) = 0
- De even machten vallen dus weg, en de coëfficiënten van de oneven machten zijn afwisselend 1 en -1. Je vindt als reeksontwikkeling voor sin(x):
f(x) = cos(x)
Voor cos(x) kan je op dezelfde manier te werk gaan. Je vindt:
grafisch voorgesteld
Onderstaand applet toont het resultaat van de reeksontwikkeling (met x in radialen) voor de eerste 6 termen.
Je krijgt een veeltermfunctie van de n-de graad die bij een toenemend aantal termen steeds beter de goniometrische functie benadert.