El poliedro de Féjés Tóth
¿El dodecaedro rómbico es la mejor de todas las soluciones posibles o podemos encontrar una solución que economice más cera? Dicho de otra forma, ¿las abejas han encontrado la mejor solución posible (tienen un gran sentido matemático) o podremos encontrar otro poliedro que necesite menos material para construir las paredes de las celdillas?
Ya en el siglo XIX se habían identificado celdillas con la presencia de cuatro planos en la parte inferior con dos rombos simétricos y dos hexágonos también simétricos en lugar de los tres planos del dodecaedro rómbico.
El matemático húngaro Féjés Tóth encontró una estructura más económica que la del dodecaedro rómbico utilizado por las abejas, es decir utiliza menos materiales (cera) para realizar la construcción que almacene la misma cantidad de miel que la de los rombos de las abejas. La conexión se realiza precisamente con dos hexágonos y dos rombos para formar un poliedro de 14 caras muy parecido al sólido de Kelvin el octaedro truncado formado por 8 hexágonos y 6 cuadrados.
Construcción del poliedro
Se inicia con un octaedro regular que alargamos verticalmente por su diagonal espacial de forma que el ángulo diedro que forman los cuatro pares de caras triangulares formen un ángulo de 1200.
El paso siguiente consiste en encontrar los cuatro puntos A0, B0, C0, D0 sobre uno de los triángulos de las caras del nuevo octaedro de forma que el cuadrilátero que tiene por vértices esos puntos sea un cuadrado.
Por A0 y B0 trazamos un plano perpendicular a la diagonal espacial que cortará al octaedro en un cuadrado. De forma parecida trazamos otros dos planos perpendiculares a las diagonales. Las nuevas secciones serán rombos.
Con esto tenemos un poliedro formado por seis hexágonos con lados paralelos dos a dos, dos cuadrados y cuatro rombos. La mitad de ese poliedro es la que podrían utilizar las abejas para cerrar sus prismas hexagonales.
La simetría especular al reflejar por el hexágono más grande da lugar a un poliedro formado por ocho hexágonos de lados parelelos dos a dos, cuatro rombos y dos cuadrados que también rellena el espacio como podemos ver en la siguiente animación:
Las celdillas y sus conexiones con las que vienen en sentido contrario
El poliedro construido por F. Tóth termina en una sección hexagonal que se puede prolongar en un prisma que permite almacenar la miel de las abejas.
El applet dispone de botones para hacer zoom que permiten adentrar en el lugar donde se produce esa conexión y se comprueba que el encaje no deja huecos.
¿Mejora el poliedro de Fejes Tóth la solución de las abejas?
Hemos recurrido al cálculo con GeoGebra para analizar la eficiencia de este nuevo poliedro. La conclusión es que para construir celdillas del mismo volumen, la de Tóth usaría algo menos de cera con una mejora del 0.21% en la construcción el fondo de los prismas. El resto del prisma sería igual.
Esta solución es mejor que la de las abejas pero por ahora es un problema abierto en matemáticas: ni se ha encontrado una solución mejor que la de Tóth, ni se ha demostrado que sea la mejor de todas: la que minimice la cantidad de cera para almacenar una determinada cantidad de miel.
El mismo Fejes Tóth encuentra que su descubrimiento, aunque sería mas eficiente que el dodecaedro rómbico, no tiene consecuencias prácticas porque la mejora no es grande y la conexión con un único rombo es más sencilla que tener que realizar dos polígonos: el hexágono y el rombo (que además ninguno de ellos es regular). Puede que las abejas no tengan el más alto sentido matemático en cuanto a la eficiencia, pero sí tienen un sentido práctico.
En una reciente investigación Shunhua et al (2022) analiza panales naturales de una abeja china y otra italiana y determinó que el 18% de las celdillas son del tipo Féjés Tóth mientras el 82% restante eran celdillas con los tres rombos del dodecaedro rómbico. También analizaron el diámetro de ambos tipos de celdillas no encontrando diferencias sensibles en el tamaño de los hexágonos.
Jose A. Pina también ha imprimido las celdillas de Féjés Tóth desde los archivos de GeoGebra:
Esta actividad pertenece al libro La geometría del panal de José Antonio Mora.