Triângulos equiláteros sobre paralelogramo
Construa um paralelogramo de lados , , e . Em seguida, sobre cada um de seus lados, construa para fora do paralelogramo os triângulos equiláteros , , e . Marque os baricentros , , e dos triângulos , , e , respectivamente. Por fim, construa o quadrilátero .
Mova os pontos livres na figura a seguir e registre o invariante que você encontrou.
Tente justificar o invariante que você encontrou.
Imagem 1
Demonstração: Vamos mostrar que o quadrilátero tem os lados opostos iguais. Afinal todo quadrilátero plano com dois pares de lados opostos iguais é um paralelogramo. Para mostrar que , considere os triângulos e .
Imagem 2
Vamos mostrar que os triângulos e são congruentes por lado-ângulo-lado (LAL). Porque se esses dois triângulos são congruentes, então .
Justificativa da congruência de e :
Igualdade dos lados opostos. Como os lados opostos de qualquer paralelogramo são iguais e é um paralelogramo, temos e .
Assim, os triângulos equiláteros e são congruentes, do mesmo modo e são congruentes.
As medianas de triângulos equiláteros congruentes têm todas o mesmo comprimento.
Como se sabe, o baricentro de qualquer triângulo divide as medianas na razão de 2 para 1, a partir do vértice de onde ela é tomada.
Assim, e .
Igualdade dos ângulos opostos e . Lembre-se que em qualquer paralelogramo, os ângulos opostos são iguais. Como é um paralelogramo, os ângulos internos em e em são iguais (estão representados por na figura a seguir).
Imagem 3
Repare que o ângulo . Do mesmo modo , portanto, .
Então os triângulos esão congruentes por LAL, logo .
A demonstração de que é análoga e será deixada como exercício.
Por que os baricentros dos triângulos equiláteros construídos sobre os lados de um paralelogramo formam um quadrilátero que é também um paralelogramo?
Qual é a relação entre os lados do quadrilátero EFGH formado pelos baricentros dos triângulos equiláteros e os lados do paralelogramo ABCD?