Blaschke's Frage & Darboux Cycliden
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 13. März 2020 geändert: 09. April 2020 Diese Aktiität ist auch eine Seite des geogebra-books Darboux Cycliden & Bizirkulare Quartiken
W. Blaschke und G. Bol haben 1938 die Frage nach allen 6-Eck-Netzen aus Kreisen (hexagonal web, 3-web of circles) gestellt, - Literatur [BLA_BOL].- Man bestimme und charakterisiere alle Sechseck-Gewebe, die sich aus drei Kreisscharen bilden lassen!
gebra-book werden diese speziellen 6-Eck-Netze aus Kreisbüscheln aufgelistet und dargestellt.
W. WUNDERLICH (Lit. [WUNW]) hat 1938 gezeigt, dass sich aus doppelt-berührenden Kreisen von bestimmten
bizirkularen Quartiken 6-Eck-Netze aus Kreisen bilden lassen.
Man vergleiche zu diesem Thema das geogebra-book Sechseck-Netze und die vorangegangenen Kapitel dieses books.
Bei der Beschäftigung mit der Frage nach den Kreis-Netzen wird man immer wieder mit den bizirkularen Quartiken konfrontiert.
Dies umso mehr, wenn man sich den räumlichen 6-Eck-Netzen aus Kreisen auf Flächen zuwendet.
In manchen Übersichtsartikeln zu diesem Kontext wird behauptet, dass für alle Flächen - von der Kugel abgesehen -
diese Frage gelöst sei. Dabei wird Bezug genommen auf den Artikel
- "Darboux Cyclides and Webs from Circles" von H. POTTMANN, LING SHI und M. SKOPENKOV (2012 Lit. [POT_et_ali]).
- Was sind Darboux Cycliden?
Die Gestalt der Fläche erkennt man mit Hilfe der Höhenlinien: Animation
In dem Applet oben werden bisher leider noch nicht alle Fälle korrekt dargestellt
Darboux Cycliden
Nach dem französischen Mathematiker Gaston DARBOUX sind neben anderem ein Satz, eine Summe und eben
diese Flächen 4. Ordnung mit einer Gleichung des folgenden Typs benannt:
- mit linearem und quadratischem und insgesamt mit reellen Koeffizienten
- sind 2 Koeffizienten gleich, so ist die Cyclide rotationssymmetrisch.
- ist ein Koeffizient gleich +1, so schneidet die Cyclide die zugehörige Ebene in 2 sich auf dem Einheitskreis schneidenden Kreisen
- ist ein Koeffizient -1, so schneidet die Cyclide die zugehörige Ebene in 2 elliptischen Kreisen mit den Büschelpunkten .
| Auf einer Darboux Cyclide können bis zu 6 verschiedene Kreisscharen liegen! Wir erlauben uns, zwei Bilder aus dem im Internet zugänglichen Artikel () als Hinweis auf diesen erstaunlichen Sachverhalt zu verwenden. Wir hätten gerne die impliziten Flächen in geogebra dargestellt, doch 2. ten Grades scheint eine Grenze zu sein. Die impliziten Kurven in der -Ebene und in der -Ebene darzustellen, gelingt uns auch nicht. Eigentlich sollte im unteren Applet die Situation in der -Ebene bzw. in der - Ebene dargestellt werden. Leider übersteigt die Anleitung zum Übertrag von Daten zwischen Applets unsere Fähigkeiten. |
Erklärung zum Applet oben:
Wie für bizirkulare Quartiken in der Ebene lassen sich die zugehörigen Flächen im Raum projektiv als Schnitt der Möbiusquadrik
mit einer 2. Quadrik erzeugen - jetzt allerdings der Anschauung weniger zugänglich in einem 4-dimensionlen Raum.
Im günstigsten Falle besitzt dieser Schnitt 5 Symmetrien: das sind 5 paarweise orthogonale Symmetrie-Kugeln,
eine davon ist imaginär.
Wählt man die reellen Symmetrie-Kugeln als die 3 Koordinaten-Ebenen und die Einheitskugel, so reduziert sich die
Flächengleichung auf die Form:
Unten Bilder, die mit dem obigen Applet erstellt wurden:
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Zum Bild oben: Die Torus-ähnliche Cyclide (cyan), die zweiteilige Cyclide (rot) und die zweiteilige (ineinanderliegende)
Cyclide (blau) sind konfokal und sie schneiden sich orthogonal. Die gelbe Cyclide liegt ganz innerhalb
der blauen Cyclide ("parallel").
Durch jeden Punkt des Raumes (von den Brennpunkten abgesehen) gehen genau 3 paarweise orthogonale Cycliden
der konfokalen Cyclidenschar. Die Flächen werden "gezeichnet" aus den Höhenlinien in -Richtung.
Die Cycliden schneiden die Ebenen in bizirkularen Quartiken. Diese können in ge
gebra
implizit gezeichnet (mit x-y-Gleichung) und in -Richtung auf die gewünschte Höhe verschoben werden.
Leider lassen sich die Schnitte mit den anderen Koordinatenebenen nicht in diesen implizit "zeichnen".
Wie ermittelt man Kreise auf Darboux Cycliden?
In dem zitierten Artikel findet man den Hinweis, dass doppelt berührende Kugeln die Fläche in zwei oder in einem
ganz in der Fläche liegenden Kreisen schneiden.
Die Darboux Cycliden schneiden die Symmetrie-Ebenen in bizirkularen Quartiken.
Zu den doppelt berührenden Kreisen dieser Quartiken gehören aus Symmetriegründen Kugeln,
welche die Cyclide doppelt berühren.
Es muss fast nicht erwähnt werden: möbiusgeometrisch sind Ebenen Kugeln!
Die Schnittkreise mit der Cyclide zerfallen oft in doppelt zählende Punktkreise, das sind die Berührpunkte.
In vielen Fällen erhält man aber tatsächlich Kreise auf der Cyclide!
Bekannte Beispiele:
gebra
implizit gezeichnet (mit x-y-Gleichung) und in -Richtung auf die gewünschte Höhe verschoben werden.
Leider lassen sich die Schnitte mit den anderen Koordinatenebenen nicht in diesen implizit "zeichnen".
Wie ermittelt man Kreise auf Darboux Cycliden?
In dem zitierten Artikel findet man den Hinweis, dass doppelt berührende Kugeln die Fläche in zwei oder in einem
ganz in der Fläche liegenden Kreisen schneiden.
Die Darboux Cycliden schneiden die Symmetrie-Ebenen in bizirkularen Quartiken.
Zu den doppelt berührenden Kreisen dieser Quartiken gehören aus Symmetriegründen Kugeln,
welche die Cyclide doppelt berühren.
Es muss fast nicht erwähnt werden: möbiusgeometrisch sind Ebenen Kugeln!
Die Schnittkreise mit der Cyclide zerfallen oft in doppelt zählende Punktkreise, das sind die Berührpunkte.
In vielen Fällen erhält man aber tatsächlich Kreise auf der Cyclide!
Bekannte Beispiele:
- Berührebenen an einschalige Hyperboloide schneiden diese in den erzeugenden Geraden. Kreise auf Hyperboloiden
- Die VILLACEAU-Kreise der Ring-Tori entstehen als Schnitt mit berührenden Ebenen. rotierende Kreise
- Die Kreise auf Ellipsoiden entstehen als Schnitt mit Berührkugeln. Kreise auf Ellipsoiden und Wollknäuel Geometrie
- Die Anzahl der Symmetrien bestimmt die Anzahl der verschiedenen doppelt berührenden Kreisscharen. Zu jede dieser Kreisscharen gehört eine Schar doppelt berührender Kugeln.
- Die doppelt berührenden Kreise und damit die Quartik selber sind Winkelhalbierende der Brennkreise, also der Kreise, die durch jeweils zwei zusammengehörende Brennpunkte gehen.
- Zu all diesen Kreisen gehören Kugeln, welche symmetrisch zu jeweils 2 der Symmetrie-Kugeln sind.
- Die Quartik läßt sich mit Hilfe der Leitkreise "konstruieren". Die Leitkreise dürften auch für die Cycliden eine Rolle spielen.
- Konfokale bizirkulare Quartiken sind die Lösungskurven spezieller elliptischer Differentialgleichungen. Diese Eigenschaften dürften im Raum eine Entsprechung besitzen!
- 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte ergeben 2-teilige Quartiken mit 4 Symmetrien.
- 4 verschiedene Brennpunkte, die symmetrisch auf 2 orthogonalen Kreisen liegen, ergeben 1-teilige Quartiken mit 2 Symmetrien.
- Fallen 2der 4 Brennpunkte zusammen, so ergeben sich die möbiusgeometrischen Bilder von konfokalen Kegelschnitten mit 2 Symmetrie-Achsen.
- Ein 3-facher Brennpunkt ergibt entsprechend konfokale Parabeln mit einer Symmetrie.
- 2 doppelt zählende Brennpunkte ergeben Kreisbüschel
- ein 4-fach zählender Brennpunkt ist der Berührpunkt eines parabolischen Kreisbüschels.
