3.3 Método de Eliminación 3x3

La mejor forma de entender la eliminación es por medio de un ejemplo. Entremos al espacio de tres dimensiones:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de r , r , y r , de modo que aplicaremos la eliminación gaussiana. (Gauss es reconocido como el más grande de los matemáticos, aunque no ciertamente debido a este invento, que quizá le llevó 10 minutos. Irónicamente, es el concepto más frecuentemente utilizado que lleva su nombre.) El método empieza por eliminar r de las dos últimas ecuaciones. Para lograr este objetivo se requiere lo siguiente: a) restar 2 veces la primera ecuación de la segunda. b) restar -1 vez la primera ecuación de la tercera. Sistema Equivalente:

El coeficiente 2 es el primer pivote. La eliminación consiste en dividir constantemente el primer pivote entre los números que están abajo de él, con la finalidad de encontrar los multiplicadores adecuados, el siguiente pivote de la eliminación es -8 (en este momento se ignora la primera ecuación que ya cumplió su papel con el pivote 2) Un multiplo de la segunda ecuación se restará de las ecuaciones que quedan (en este caso sólo queda la tercera) con la finalidad de eliminar de la segunda ecuación se suma a la tercera o, en otras palabras se resta -1 vez la segunda ecuación de la tercera.Ahora el proceso de eliminación está completo, por lo menos en la dirección "hacia adelante":

Sistema Triangular:

Este sistema se resuelve hacia atrás, de abajo hacia arriba. La última ecuación da . Al sustituir en la segunda ecuación, se encuentra . Luego, la primera ecuación da . Este proceso se denomina sustitución hacia atrás. (Nota: Resumiendo, con la eliminación hacia adelante se obtuvieron los pivotes 2, -8, 1. En este método se restan múltiplos de cada renglón de los renglones de abajo para llegar al sistema "triangular" (3), que se resuelve en orden inverso. Luego, cada nuevo valor calculado se sustituye en las ecuaciones restantes.) Usando Matrices Para no escribir tanto y hacer el proceso de eliminación es conveniente introducir las matrices, en particular la matriz aumentada del sistema de ecuaciones, colocamos en las primeras columnas de la matriz los coeficientes asociados a cada variable (x,y,z) e incluimos las partes derechas de las ecuaciones como una columna adicional. No es necesario copiar x,y,z en cada paso, por lo que se trabaja con lo mínimo indispensable:

AI final se llega al sistema triangular, que ya está listo para la sustitución hacia atrás. Es posible que el lector prefiera esta disposición, que garantiza que las operaciones en el miembro izquierdo de la ecuación también se realizan en el miembro derecho, ya que ambos miembros están juntos ahí. En un problema más grande, la eliminación hacia adelante requiere más esfuerzo. Se usan múltiplos de la primera ecuación para producir ceros abajo del primer pivote. Luego, la segunda columna se limpia abajo del segundo pivote. El paso hacia adelante se finaliza cuando el sistema es triangular; la ecuación n sólo contiene a la última incógnita multiplicada por el último pivote. La sustitución hacia atrás produce la solución completa en orden opuesto: se empieza con la última incógnita, luego se resuelve de la siguiente hasta la última, terminando con la primera.Por definición, los pivotes no pueden ser cero (¿Por qué?)

Continuando la eliminación (Matriz Escalonada Reducida) Para encontrar la solución al sistema de ecuaciones podemos llegar a la matriz triangular y a partir de ahí resolver el sistema usando substitución hacia atrás como acabamos de hacer, pero podríamos también hacer esa sustitución hacia atrás directamente en la matriz triangular.

Iremos entonces de abajo hacia arriba y 1. Eliminar la variable z de las ecuaciones 1 y 2, 2. Eliminar la variable y de la ecuación 1 Esto multiplicando los pivotes de la tercera y segunda fila por los multiplos apropiados: Multipliquemos por dos la fila 3 y sumémola a la fila 2 obtenemos:

Ahora multipliquemos la misma fila 3 por -a para eliminar el 1 de la fila 1:

Finalmente. multipliquemos por -1/8 la fila 2 y restémola de la fila 1 y obtenemos:

Ya tenemos ceros arriba y abajo de los pivotes, lo que indica que cada ecuación tiene una sola variable,las ecuaciones correspondientes a esta última matriz son la siguientes:

Si convertimos los pivotes de la matriz que no son 1 ( 2 y -8), en 1 dividiendo las filas 1 y 2 por los pivotes respectivos obtenemos la siguiente matriz:

De esta matriz final (llamada matriz Escalonada Reducida) podemos leer directamente la solución al sistema de ecuaciones:

Importante: Compruebe que estos valores de las tres variables satisfacen las tres ecuaciones iniciales : Ecuaciones Iniciales

Video Eliminación (Gauss) Sistema de Ecuaciones 3x3, Profe Julio

Actividad Eliminación 3x3

En el siguiente applet se muestra otro sistema de 3x3, usando el deslizador llamado paso puede observar paso a paso el proceso de eliminación. En la parte derecha aparecen los planos correspondientes a cada ecuación, observe visualmente la propiedad importante del método de eliminación: A través de los pasos nunca cambia la intersección de los tres planos (solución de la ecuación)