６．ベクトルと平面図形
このページは電子ブック「探求 数学B・C」の一部です。
★定点と方向ベクトルで直線が決まる。
★２点から直線が決まるね。
★定点と法線ベクトルで直線がきまるね。
１．ベクトルと直線
＜位置ベクトル＞
原点を始点とするとき、終点Pに対してベクトルOPが定まる。これをPの位置[position]ベクトルという。
点の名前の大文字に対して、小文字でベクトルpとかく。
＜分点ベクトル＞
２点A,Bをｍ:ｎに内分する点Pの位置ベクトルは と成分によらず書ける。
だから、平面上だけでなく、空間内でも使える。
＜重心ベクトル＞
３点A,B,Cの重心ベクトルは３点に位置ベクトルの平均になる。
＜３点A,B,Cが共線＞
となるｋがある。
＜直線の方程式＞
ベクトルの足し算が途中の点を省いた最短矢印であることから、
・２点A を通り方向[direction]ベクトルと平行な直線上の点Pは
とかける。
成分表示すると（x,y)=(ax+t dx, ay+ t dy) となるので、dy/dx=(y-ay)/(x-ax)
・２点A,Bを通る直線の方向ベクトルは だから、
２点ABを通る直線は となる。s=1-tとおくと 。
・２点A を通り法線[normal]ベクトルと垂直な直線上の点Pはとかける。
成分表示すると a(x-p)+b(x-q)=0（内積＝０）
（例）
「三角形OABの辺OAを１：２に内分する点をC,辺OBを３：２に内分する点をDとする。ベクトルADを5/3倍に延長したベクトルをAEとし、OEとBCの２直線の交点をFとするときFC：CB」は？
EはADを5:2に外分する点になるので、小文字を点の位置ベクトルとするとd=3/5bからe=(5(3/5b)-2a)/(5-2)
=-2/3a+b。ベクトルBE=e-b=-2/3a＝-2/3OAだから、BEとOAは平行となり、FC:CB＝FO：OE。
fはOE上にあるからf=se=s(-2/3a+b)と、CB上にあるからb+t(BC)=b+t(c-b)=b+t(1/3a-b)=(1/3t)a+(1-t)bとおける。aとbは一次独立だから、係数比較してｓ，ｔと求めると、s=-1,t=２となる。
つまり、f=-1eということで、２ベクトルはOF=-OEから同じ長さ。FO:OE=1:1=FC:CB。
＜線分の方程式＞
・２点A,Bを通る直線は （s+t=1)でsもtも非負という条件をつけると、
Pは２点ABの内分点になるから、線分を表す方程式になる。
（例）
「平面上の三角形ABCと点Pについて、 (ｔが実数）なら点Pが三角形ABCの内部に
あるｔの範囲」は？
カンタンのために、小文字のみで点の位置ベクトルを表すとa-p+2(b-a)+3(c-p)=t(b-a)となり、ｐについて
解くと、 となる。
t＝０なら、点Pは線分ABを２：１に分ける点Qと点Cの中点。
tを動かすと、点Qの分点比が変わるが、点Pは点Cとの中点であることは変わらず。
だから、点Pは辺BCの中点と辺ACの中点を連結する直線となる。これを三角形ABCの内部に閉じ込めたい。それは、点Qが辺BCの内分になるときだ。
端を除く線分条件から、aの係数1+tとｂの係数2-tが正だね。tは-1と２の間にある。
２．ベクトルの円
＜円の方程式＞
・ベクトルaからの距離が一定ｒである点Pの位置ベクトルは
これを成分で展開すると、座標を使った円の方程式になる。
絶対値の２乗は内積に等しいから、
・２点A,Bを直径とすると、円周角は直角になる。
だから、円周にある点Pに対して、ベクトルPAとPBの内積＝０になる。
★三角形の面積をベクトルで求めるとカンタンだね
３．ベクトルと三角形
＜三角形の不等式＞
・２点A,Bを通る直線の方向ベクトルは だから、
三角形OABの周と内部は （ｓ＋ｔが０以上１以下で、ｓもｔも０以上１以下）
（理由）
線分OA上の点Sはで表すことができる。
線分OB上の点Tはで表すことができる。
だから、三角形OABの周と内部の点は、線分ST上の点だから、 u+v=1でuもｖも非負。
us+vt、us、vtは０以上１以下になるから。
＜三角形の面積＞
三角形のOABの面積は1/2|a||b|sinθ=
ベクトルa=(a,b),b=(p,q)と成分を仮定すると、
内積によるコサインの置き換えが、式の単純化に役立ったね。
＜３辺の長さと内積＞
三角形ABCの頂点の位置ベクトルをp,q,rとし、頂点の対辺の長さをa,b,cとする。
内積
一方で、余弦定理から、a2=b2+c2-2bccosAだから、 となる。
だから、 。頂点を入れ替えると、
＜二等辺三角形と内積＞
円周O上の２点A,BをとるとOA=OBで、ABの中点Mをとると、MOとABは垂直です。
だから、 底角が不明でも、
底角を起点とするのこりの頂点への２ベクトルの内積は、底辺の２乗の半分になりますね。
（例）
「AB=２√２，BC=√６，CA=２の三角形に外接する円Oをかくとき、３つの内積」は？
三角形AOB、AOCはそれぞれ二等辺三角形となる。だから、底角からの２ベクトルの内積は底辺の２乗の半分で、
３辺の長さがわかっているときは、１頂点から２ベクトルの内積は余弦定理とコラボして、