La funzione derivata
LA FUNZIONE DERIVATA
Data una funzione, ad esempio posso calcolarne la derivata per vari valori di , ad esempio:
di fatto abbiamo creato una nuova funzione, che dato un valore di ci permette di calcolare la velocità con cui il risultato di sta cambiando in corrispondenza di quel valore di .
Alla funzione , che dato un qualsiasi valore associa un determinato risultato , possiamo associare una funzione derivata [da essa] che dato un qualsiasi valore restituisce la velocità con cui il risultato della funzione "principale" sta cambiando in corrispondenza di quell'input.
![Una funzione [math]f(x)[/math] [lato sinistro dell'immagine] ad ogni valore di [math]x[/math] associa un risultato. Ad essa posso associare [color=#ff0000]una funzione DERIVATA [math]f'(x)[/math] [lato DESTRO] che ad ogni valore di [math]x[/math] associa la velocità con cui sta cambiando questo risultato in corrispondenza dell'input [math]x[/math] prescelto[/color] (la pendenza del grafico di [math]f(x)[/math] in quel punto).](https://beta.geogebra.org/resource/fdtaxr9h/sA7ibPgb2GVh2iU4/material-fdtaxr9h.png)
LE NOTAZIONI PER INDICARE LA FUNZIONE DERIVATA
Il modo più sintetico per indicare la funzione derivata della funzione è , che si legge "f primo di x" (e che fa intuire che ci sarà anche una derivate seconda, terza... ma di questo ce ne occuperemo più avanti).
Impareremo a calcolare in modo rapido l'espressione della funzione derivata, e per fare questo è comodo utilizzare anche altre notazioni. Vediamole in forma generale e con un esempio
Nota: la scrittura proviene dall’idea che la derivata è il limite di per che tende a zero, cioè che diventa estremamente piccolo (infinitesimo). Per indicare che una variazione finita (finita=definita, nè infinita nè infinitesima) tende a 0, e quindi ad una variazione infinitesima, il suo simbolo viene sostituito da (ricorda che è la lettera greca Delta che è la corrispondente della "D" maiuscola latina, quindi in un certo senso ad una D maiuscola ne viene sostuita una minuscola).
Il simbolo viene detto un infinitesimo della variabile ed indica appunto una variazione infinitesima di questa variabile. Diventerà particolarmente importante più avanti, quando affronteremo un altro capitolo dell'analisi (l'integrazione).
| | formato 1 | formato 2 | formato 3 |
| caso generale: la derivata della funzione si indica... | | | |
| esempio con : la sua derivata si indica con... | formato non utilizzabile | | |
VISUALIZZARE LA FUNZIONE DERIVATA
Puoi usare lo strumento qui sotto per visualizzare il valore della derivata in ogni valore di .
NEL RIQUADRO A SINISTRA vedi la funzione che stiamo studiando e la retta che è tangente alla funzione nel punto verde chiaro: (la cui x è indicata in blu): il coefficiente angolare della retta è il valore della derivata per quel valore di .
NEL RIQUADRO A DESTRA per ogni valore di viene mostrata sulle il corrispondente valore della derivata.
- trascina il punto verde chiaro per vedere come cambia la derivata
- usa l'interruttore nero per attivare il tracciamento dei valori della derivata
- usa l'interruttore blu per vedere l'intero grafico della derivata (l'insieme dei valori che assume)
- scrivi nella barra di inserimento "" (ad esempio "") per cambiare la funzione da studiare
- è consigliato mettere lo strumento a schermo intero premendo sul tasto in basso a destra
- puoi muovere le viste e cambiarne lo zoom trascinando ed usando la rotella del mouse
- puoi resettare tutto e ripartire da capo premendo sulle due frecce in circolo