Solución de sistemas de ecuaciones
Ecuaciones polinómicas
Hemos visto anteriormente que hay infinitas ecuaciones posibles, con multitud de variables en ellas. Sin embargo es muy común encontrarse con ecuaciones en las que sólo desconocemos una de ellas, y a menudo es sencillo resolverlas, de modo que creo que merece la pena detenernos un poco en ellas para estudiar cómo resolver las más comunes de todas: las ecuaciones polinómicas. Si te estás preguntando por qué dedicamos un capítulo a esto, paciencia que luego hablamos del porqué.
Una ecuación polinómica es aquella en la que las expresiones algebraicas de ambos miembros son polinomios de una variable. Esto puede llevarte especialmente si hace años que lo estudiaste a la pregunta evidente de ¿qué diablos es un polinomio?
Un polinomio es una expresión algebraica de una variable (por ejemplo, z) de este tipo:
Donde son números. Dicho de otro modo, un polinomio es una suma de números multiplicados por potencias de la variable de exponente entero , hasta donde nos dé la gana. Aquí tienes dos ejemplos
:
Esto, en cambio, no son polinomios:
El nombre es una mezcolanza de griego y latín: poli (muchos) y nomen (nombre). Creo que el origen en álgebra es a partir de binomio (dos nombres o términos), ya que en matemáticas a partir del se empezó a utilizar nomen en el sentido de término en una expresión. Así, es un binomio, ya que consta de dos términos, mientras que es un trinomio. Al final se acabó usando polinomio en general, para cualquier número de términos, siempre que éstos fueran potencias enteras de una misma variable.
El grado de un polinomio es el máximo exponente de la variable. En el primero de los dos polinomios válidos de antes el grado es y en el segundo es . Aunque suene un poco tonto, r+2r+2 es un polinomio de grado y es un polinomio de grado 0. El grado de una ecuación polinómica es el grado del mayor de los polinomios de ambos miembros.¿Por qué las ecuaciones polinómicas son suficientemente importantes como para que les dediquemos una entrada? Hay dos razones. En primer lugar son extraordinariamente comunes en muchas situaciones de la vida real; en segundo lugar hay, hasta cierto punto, modos muy sencillos de resolverlas. Esto significa que las recompensas de su estudio son muy grandes comparadas con el esfuerzo que requiere estudiarlas.
Aquí tienes varios ejemplos de ecuaciones polinómicas:
La primera es de grado la segunda de grado , la tercera de grado y la última de grado
Número de soluciones de una ecuación polinómica
Las malas noticias son que no siempre es posible resolver fácilmente las ecuaciones polinómicas: hoy veremos cómo hacerlo hasta cierto grado, y cómo atacar grados mayores. Las buenas noticias son que, al menos, sí es posible saber cuántos valores de la incógnita resuelven la ecuación como mucho.
La forma en la que suele hablarse de esto es como del número de soluciones, un nombre no demasiado afortunado porque ya vimos que solución hay una sola: el conjunto de valores que resuelve la ecuación. Así, la solución de lo constituyen dos valores de y Sin embargo muy a menudo se dice que esa ecuación tiene dos soluciones, y todos nos entendemos: quiere decir que la solución es un conjunto de dos valores.
Esto de saber el número de soluciones puede no parecer muy útil –lo que queremos saber son los valores en sí, no cuántos hay–, pero supone una gran ventaja: si sabemos que la ecuación no tiene más de tres soluciones y hemos encontrado ya tres, ¡podemos dejar de buscar, porque la hemos resuelto!
Hay más buenas noticias: es muy fácil saber cuántas soluciones diferentes hay, como máximo, para una ecuación polinómica. Basta con fijarse en el grado de la ecuación.
Dicho mal y pronto, una ecuación polinómica de grado tiene soluciones diferentes como mucho. Por ejemplo, una ecuación de tercer grado tiene como mucho tres soluciones distintas, y una de grado 9 no tiene más de nueve soluciones. Esto significa, como podrás imaginar, que cuanto mayor es el grado más difícil es resolver la ecuación. Al fin y al cabo, una de primer grado sólo requiere encontrar un valor de la incógnita que la resuelva, mientras que una de grado doce es una pesadilla de tomo y lomo.