Alapfogalmak
Egy hexaéder (= hatlapú poliéder)
Hexaédernek nevezzük az összes olyan egyszerű poliédert, amelyet hat egyszerű sokszög határol. Ezek közül legismertebb a kocka. A legkevésbé ismert közülük talán a fenti, az un. hemiobelix.
Bár joggal feltételezhető olvasóinkról, hogy a poliéderekkel kapcsolatos alapfogalmakat ismerik, azonban szükséges lehet ezek összefoglalása, amely az alábbi pdf fájlokban olvasható.
Euler poliéder tétele
Egy egyszerű poliéder
A poliédereknek egyértelmű megadásának a GeoGebrában leggyakrabban alkalmazott módja az, hogy
- megadjuk a csúcsainak a koordinátáit;
- megadjuk az összes lapját az egy lapra eső csúcsok ciklikus felsorolásával.
P 01
Ez a tömör megfogalmazás természetesen csak akkor "működik", ha a megadott adatok megfelelőek.
Ezt a kérdést később fogjuk elemezni.
Az itt bemutatott megadási mód a legtöbbször nem eléggé felhasználóbarát: nem használja ki eléggé a GeoGebra lehetőségeit. Ezért ugyanezt a konstrukciót lássuk el egyre több kiegészítéssel:
- az N=Sorozat(Szöveg(i, V(i)), i, 1, Hossz(V)) paranccsal "megszámoztuk" a csúcsokat a V listában megadott sorrendben, ezzel követhetővé vált, hogy egy-egy lapot milyen sorszámú csúcsok milyen sorrendben felsorolva állítanak elő;
- a MásolásOszlopba(1,F) paranccsal átírtuk az F listát a a táblázatkezelő első oszlopába;
- a B1=Sokszög(Sorozat(Elem(V, Elem(A1, i)), i, 1, Hossz(A1))) paranccsal előállítottuk az első lapot, majd a B1 elem "lehúzásával" az összes többi lapot előállítottuk az A1 és a B1 elem kapcsolatát "örökítve" a többire. Pl. B2=Sokszög(Sorozat(Elem(V, Elem(A2, i)), i, 1, Hossz(A2))) , stb. Ezzel minden lap külön-külön kezelhetővé vált, pl. beállítható lett a színe, áttetszősége, vezérelhető a láthatósága.
- MásolásOszlopba(3,V) -ezzel a harmadik ( C ) oszlopában is megjelennek a poliéder csúcsai;
- V=C1:C7 - ezzel visszatesszük a C oszlop pontjait a megjelenítéshez használt V listába.
Egy sokszög a térben
Feltételezzük, hogy ismerik olvasóink a Sokszög() eljárással megadható geometriai objektumok tulajdonságait, amely egyaránt alkalmazható síkbeli, vagy térbeli pontokkal adott sokszögek felvételére. Ha a pontok a felvett sorrendben önátmetsző sokszöget alkotnak, akkor azt ennek megfelelően rajzolja meg a az eljárás. Ha azonban a sokszög pontjai nincsenek egy síkban, akkor a sokszöget nem definiáltnak tekinti.
A kérdés az, hogy mennyire kell pontosan egy síkban lenniük egy térbeli sokszög csúcsainak.
Próbáljuk ki. Miután megoldottuk, hogy a C oszlop pontjai alkossák a poliédert, a parancssorba írjuk be például a C3=(1,2,-1+1E-10) majd a C3=(1,2,-1+1E-8) parancsot , vagyis a 3. sorszámú csúcs z koordinátája előbb 10-10 majd 10-8 pontossággal térjen el a -1 értéktől. Ez az utóbbi pont már nem illeszkedik sem a {2,1,4}, sem a {4,5,6,7} síkra. Ugyanis a GeoGebra akkor tekint két pontot azonosnak, ha a koordinátáik legalább 10-9 pontossággal azonosak, függetlenül attól, hogy hány tizedesjegynyi pontosan jelenítjük meg.
Dinamikusan
Bővítsük tovább ezt a programot azzal, hogy a poliéder egyértelmű megadásához elegendő csúcspontok legyenek változtathatók. Az alábbi appletben sötétkékkel jelöltük meg azokat a pontokat, amelyek tetszőlegesen változtathatók, türkizzel azokat, amelyek mozgathatók ugyan, de valamilyen kényszerpályán.
Konkrétabban:
- legyen C3 és C7 a (C4,C5,C6) sík egy-egy pontja - Ezzel elértük, hogy a {3,4,5,6,7} ötszög pontjai egy síkban legyenek, függetlenül attól, hogy az ötszög melyik pontját mozgatjuk meg. (Ezt most úgy oldottuk meg, hogy a C3 és C7 pontok egy-egy olyan egyenesen mozogjanak: amelyek párhuzamosan mozognak a (C5,C4) ill. a (C5,C6) egyenesekkel. Ennél - elvileg - egyszerűbb lett volna, ha a BelsőPont(Sík(C4,C5,C6)) paranccsal adjuk meg a mozgási lehetőségeiket. De ekkor nehezebben követhető, hogy hova kerül a C3 és a C7 pont, ha a C4, C5,vagy C6 pont bármelyikét - így a síkjukat is - elmozdítjuk a térben.)
- legyen s_3=Sík(C1,C4,C3) ; s_7=Sík(C6,C6,C7) ; f=UtakMetszete(s_3,s_7) ; C2=Pont(f) - Ezzel elértük, hogy a poliéder két négyszöglapja síkbeli négyszög legyen.
Emlékeztető
Egy poliéder közönséges, ha minden lapja egyszerű sokszög, bármely két lapjának legfeljebb két közös pontja van, és ha pontosan kettő van, akkor van pontosan egy közös éle is. Röviden: ha a lapjainak az előírtakon kívül nincs közös pontja.
A fenti appletekben többféleképpen előállított poliéder egyszerű is, vagyis ez a poliéderfelület folytonos deformálással gömbbé alakítható.
Figyeljük meg az alábbi appletet: látszólag csak abban tér el az előzőtől, hogy a C2 pont is a tér bármely pontja lehet, vagyis nem követeljük meg, hogy az {1,2,3,4} és az {1,6,7,2} pontok síkbeli négyszöget alkossanak. Így ez a poliéder - alaphelyzetében - egy hexaéderré fajuló oktaéder (= 8 lapú poliéder), amelynek egy ötszög és hét háromszöglapja van.
A C1., vagy C2. csúcsot tudjuk úgy mozgatni a térben, hogy a háromszöglapok egymással, vagy az ötszöglappal ütközzenek, azaz legyenek közös belső pontjaik (szakaszaik), amelyek nem élei a poliédernek.
Ha ez bekövetkezik, akkor a konstrukció már nem tekinthető közönséges poliédernek: a felület önátmetsző, noha minden lapja egyszerű sokszög.
(A GeoGera fájlok szerkesztése iránt alaposabban érdeklődő olvasóink töltsék le az alábbi appletet, és figyeljék meg azt a fogást, hogy a négyszögeket háromszögekké daraboló átlók csak akkor láthatók, ha a csúcsai nincsenek egy síkban.)
Összegezve tehát azt mondhatjuk, hogy minden közönséges poliéder csúcsait úgy kell megadnunk, hogy
- az egy-egy lapot meghatározó csúcsok egy síkba essenek;
- a lapok ne legyenek önátmetszők;
- a poliéderfelület ne legyen önátmetsző, vagyis a lapok ne ütközzenek.
Az egyszerű poliéderek kombinatorikus szerkezete.
Mint láttuk, egy poliéder egyértelmű megadásához egyrészt meg kell adnunk a csúcsok koordinátáit, - ez volt a V{} lista - másrészt a poliéder kombinatorikus szerkezetét - ez most az F{} lista.
A feladat jellege határozza meg, hogy melyiket célszerű előbb megadnunk.
Most vegyük szemügyre alaposabban a fenti poliéder szerkezetét meghatározó F{} listát:
F:={
{3, 4, 5, 6, 7},
{4, 3, 2, 1},
{1, 6, 7, 2},
{2, 3, 7},
{1, 5, 4},
{1, 6, 5}
}:
Az nyilvánvaló, hogy a listában felsorolt lapok sorrendje tetszőleges, sőt az is, hogy egy-egy lap csúcsainak a ciklikus sorrendje szintén. Pl . a {3,4,5,6,7} , {5,6,7,3,4} vagy {6,5,4,3,7} ugyanazt az ötszöget határozza meg.
Figyeljük meg, hogy a szomszédos számok - ahol az első és utolsó is szomszédos - a poliéder éleit határozzák meg. Így, mivel egy közönséges poliéder bármely élére pontosan két csúcs és pontosan két lap illeszkedik, minden szomszédos számpárt pontosan két lapban találunk meg. Jelen estben ellentétes sorrendben. Ez biztosítja, hogy a poliéder lapjai "kívülről nézve" azonos - jelen esetben negatív - körüljárásúak. Ennek olykor a megjelenítésben van jelentősége.
Ezzel együtt nem mondhatjuk, hogy az így megadott kombinatorikus szerkezet, mint matematikai objektum kellően szemléletes. Szemléletessé az egyszerű poliéder kombinatorikus hálózatának - élhálózatának, Schlegel-diagramjának - a megrajzolásával tehető. Ezekre a síkgeometriai alakzatokra használatos még az absztrakt poliéder elnevezés is.
Képzeljük el, hogy a vizsgált (egyszerű) poliéderünk gumiból van: tetszőlegesen deformálható. Egy kiválasztott lapját ráillesztjük a síkra, majd akkorára "nyújtjuk", hogy az összes többit folytonos deformálással erre levetíthessük úgy, hogy azok ne fedjék egymást, majd a kiválasztott lapot "kifordítjuk", vagyis a síknak a sokszög vonalán kívüli részét tekintjük egy lapnak.
A hemiobelix négy Schlegel-diagrammja
Egy egyszerű - pl. konvex - poliédernek annyi ránézésre különböző Sclegel-diagramja lehet, ahány lapja van. Természetesen ezek mindegyike ugyanazt a kombinatorikus szerkezetet reprezentálja.
Nem könnyű ellenőrizni, hogy pl. a fenti négy diagram ugyanarról a poliéderről készült-e, különösen, ha nem jelöljük meg a csúcsokat számozással és a lapokat pl. színezéssel vagy ugyancsak számozással.
Ezek a rajzok lényegében síkba rajzot gráfok. Részletesebben:
- Gráf: Pontokból - a gráf csúcsaiból, , és e pontokat összekötő folytonos vonalakból - gráf éleiből- álló geometriai alakzat.
- Síbeli gráf (síkra feszített gráf): amelynek a csúcsai és élei egy síkra illeszkednek úgy, hogy az élek nem metszik egymást. Egy síkbeli gráf a síkot tartományokra osztja, ahol egy-egy tartomány belső pontjai összeköthetők olyan folytonos vonallal, amelynek nincs közös pontja a gráffal. Két tartomány szomszédos, ha van közös élük.
- minden véges - véges sok csúcsból és élből álló - síkbeli, C csúcsú, E élű és L tartományú érvényes a C+L-E=2 összefüggés amely Euler poliéder tételének egy általánosabb megfogalmazása;
- minden egyszerű poliéder élhálózata egy háromszorosan összefüggő gráf: olyan véges gráf, amelynek bármely két csúcsát az oda befutó élekkel együtt eltávolítva a megmaradt gráf összefüggő marad;
- bármely háromszorosan összefüggő síkbeli gráf realizálható olyan konvex poliéderként melynek az élhálózata ez a gráf.
Egy kis (?) házi feladat:
A lapok és csúcsok számának a növelésével gyorsan növekszik az esetek száma, és egyre nehezebb eldönteni, hogy két háromszorosa összefüggő síkbeli gráf - Schlegel-diagram - különbözőnek tekinthető-e.
Probléma-orientált olvasóink számára felkínálunk egy ilyen feladatot: keressenek olyan egyszerű poliédereket, amelyet L3=3 háromszög L4=4 négyszög és L5=1 ötszög határol, és a csúcsai közül C3=6 csúcsbába három-három, és C4=3 csúcsába négy-négy él fut be. Így a lapok száma C=C3+C4+C5=8 - tehát oktaédereket eresünk- , a csúcsok száma C=C3+C4=9. Vajon hány egymástól különböző kombinatorikus szerkezet rendelkezik ezekkel az adatokkal?
Aki ehhez hozzáfog, minden bizonnyal először egy megfelelő Sclegel-diagrammot keres, majd ehhez egy ennek megfelelő poliédert. Sőt: azzal kezdi, hogy ellenőrzi: stimmel-e a leltár: az élek számát a lapok számából és a lapok oldalszámaiból, ugyanígy a csúcsok számából és azok fokszámaiból is ki lehet számolni: 3L3+ 4L4+5L5=3C3+4C4 =2E , továbbá- mint minden egyszerű poliéderre, erre is teljesülni kell Euler poliéder tételének: C+L -E=2 .
Megjegyezzük, hogy az L=8 lapú egymástól különböző kombinatorikus szerkezetű egyszerű poliéderek -azaz oktaéderek - száma 275 ,ezek közül 74-nek van C=9 csúcsa. Aki nem hiszi, járjon utána. Vagy ennek az 1900- ban kiadott könyvnek lapozzon a végére.
Feltehetően sikerült meggyőzni olvasóinkat arról, hogy az egyszerű poliéderek témaköre nem is olyan egyszerű. De szép.