Una suposición no tan evidente
La primera demostración del Teorema de la Galería de Arte fue realizada por Chvátal 1975). Steve Fisk (1978) realizó una demostración simplificada que también puede encontrarse en O’Rourke (1987) y Tucker (1994), y que fue merecedora de estar en El Libro de las Demostraciones, denominado por Paul Erdös como el libro donde Dios recopila las demostraciones perfectas de los teoremas matemáticos (Aigner y Ziegler, 2005). El motivo de incluir la demostración de Fisk en el presente artículo de debe a dos razones fundamentales:
- Creemos que existe un número significativo de alumnos, en segundo ciclo de secundaria y bachillerato, que reconocerían cierto grado de belleza y elegancia en dicha demostración, adquiriendo nuevos criterios para una valoración de las matemáticas.
- En la demostración damos por sentado que todo polígono puede ser triangulado, sin necesidad de agregar nuevos vértices, sin embargo, ¿es posible asegurarlo en general?
Paso 1: Construimos el triángulo equilátero ABC contenido, por ejemplo, en el plano XY. En nuestro caso, el triángulo estará inscrito en la circunferencia centrada en el origen y de radio r=3, de modo que el vértice A tiene coordenadas (0,3,0) en el espacio. Paso 2: A continuación, reproducimos los vértices del triángulo anterior en un plano paralelo, por ejemplo, en z=h, siendo h el valor que tome un deslizador. Esto podemos hacerlo definiendo tres puntos D, E, y F, en función de las coordenadas de A, B y C, respectivamente. Así, en línea de comandos ejecutaríamos las siguientes sentencias: D=(x(A),y(A),h), E=(x(B),y(B),h) y F=(x(C),y(C),h)
Paso 3: Aplicamos una rotación axial para cada vértice del triángulo DEF, mediante un ángulo respecto al eje OZ (el que une los centros de los triángulos ABCy DEF). Así, a partir de los vértices D, E y F, obtendremos D', E' y F', respectivamente (ver Figura 8). Unimos estos vértices para formar el triángulo equiláteroD'E'F' El ángulo de la rotación axial, lo definiremos mediante un deslizador con valor angular comprendido entre 0º y 60º. Tiene esta restricción puesto que para tenemos un prisma triangular y para las aristas que unen ABC con D'E'F' se cortan en un único punto. Para se obtienen poliedros con más de 6 vértices.
Figura 8
Paso 4: Para finalizar, trazamos las aristas: AD', AF', BE', BD', CE' y CF' mediante la herramienta Polígono, marcamos los triángulos que faltarían por marcar: AD'F', ACF', BD'E, ABD', CE'F' Y BCE', que conforman las caras del poliedro de Schönhardt de vértices ABCD'E'F'.
Es importante observar que cada uno de los seis vértices del poliedro de Schönhardt está conectado mediante aristas con otros cuatro, es decir, en cada vértice inciden solo cuatro aristas. Esto hace que no sea tetraedrizable, es decir, que no se pueda formar ningún tetraedro contenido en el poliedro sin agregar nuevos vértices, ya que siempre quedaría una arista del tetraedro fuera del poliedro. Schönhardt demostró esta cuestión y también que todo poliedro no tetraedrizable debe tener al menos seis vértices (Bagemihl, 1948).
La vista gráfica 3D de GeoGebra permite que el alumnado visualice el poliedro de Schönhardt, así como su no tetraedrizabilidad. Existe una interesante posibilidad, que consiste en generar un archivo en formato .stl para su posterior impresión en 3D. En Lieban (2018) tenemos las indicaciones necesarias para exportar diseños en 3D realizados con GeoGebra a STL; la Figura 9 (https://bit.ly/2NBOwnr) es el resultado de aplicar dicha exportación al applet del poliedro de Schönhardt (Figura 7). En cualquier caso, circulan múltiples diseños predefinidos de libre distribución en internet (Taalman, 2015; Charters, 2017) para utilizar en una impresora 3D convencional.
Figura 9.
Para concluir esta sección y volviendo al problema de la Galería de Arte, convendría indicar distintos resultados que lo amplían y complementan. Por ejemplo, la posibilidad de que la sala poligonal contenga huecos (O'Rourke, 1987). De este modo contribuiremos a mostrar que la actividad científica no cesa cuando resolvemos un determinado problema, sino que se abren nuevos interrogantes.