Einstieg
Folgen sind Funktionen mit eingeschränktem Definitionsbereich; die Begriffe beschränkt und monoton treten daher auch bei Folgen auf. Insbesondere haben sie eine grosse Bedeutung bei unendlichen Folgen: Hier interessiert uns vor allem das Verhalten für grosse n bzw. was geschieht, wenn n gegen Unendlich geht.
Eine Zahlenfolge heisst nach oben(unten) beschränkt, wenn es eine Zahl K(k) gibt, so dass für alle Glieder an gilt: an < K (an > k).
Eine Folge heisst beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
Den Begriff Monotonie haben wir bereits kennen gelernt. Wenn er dir nicht mehr geläufig ist, schaue im F & T oder im Internet nach.
Einstiegsbeispiele
In folgendem Applet kannst du 4 Beispiele grafisch untersuchen auf Monotonie und Beschränktheit:
Beispiel 1: an = 2 -
Beispiel 2: bn = (-1)n
Beispiel 3: cn = n -
Beispiel 4: dn = (-2)n
1. Suche von jeder Folge - wenn möglich - die obere bzw. die untere Schranke.
2. Ist die Folge monoton wachsend oder fallend?
3. Gibt es einen Grenzwert, wenn n unendlich gross wird?
Mit Hilfe der Maus kannst du das Bild vergrössern bzw. verkleinern.
Bei monoton zunehmenden und beschränkten Folgen ist von allen oberen Schranken die kleinste von Interesse. Ihr nähert sich die Folge mit wachsendem n immer besser an. Eine solche Schranke nennt man deshalb auch Grenzwert.
Merke:
- Folgen mit dem Grenzwert 0 heissen Nullfolgen.
- Eine Zahlenfolge hat höchstens einen Grenzwert.
- Folgen, die einen Grenzwert haben, nennt man auch konvergente Folgen.
- Folgen ohne Grenzwert nennt man divergente Folgen.