Zoom infinito-Curva de Koch

• Para realizar la construcción, aprovecharemos que el fractal de Koch es autosemejante. Concretamente, al hacer homotecia de razón de semejanza 3 con centro en cualquiera de los dos extremos, se obtiene exactamente la misma figura.
• Como no podemos reproducir el proceso infinito de creación de la figura, se ha creado usando solo las primeras iteraciones; 6 en este caso.
• Por eso, una vez construidas esas primeras iteraciones del fractal, podemos ir aplicándole sucesivamente homotecias con centro en cualquiera de los extremos, aumentando la razón progresivamente hasta llegar a 3.
• En ese momento, volvemos a tener la figura inicial, con lo que podemos volver a la situación de partida, con razón de semejanza 1.
• Si hay suficientes vértices, el cambio no debería notarse, y podremos repetir el proceso.

• Necesitamos una lista, que denominaremos koch, con los vértices de la poligonal.
• Mediremos el desarrollo de esta animación mediante un deslizador animación, entre 0 y 1, que medirá el porcentaje que llevamos desarrollado.
• Podemos crear la animación combinando dos comandos, Homotecia y Poligonal, para unir los puntos.
• Utilizaremos el valor de la variable animacion para controlar el valor del factor de homotecia, que tendrá que ser entre 1 y 3.
• Elegiremos como centro de la Homotecia, cualquiera de los dos extremos, y lo denominamos PExtremo. Con algunas modificaciones, podemos centrar la homotecia en el punto medio de ambos extremos.
• Usando un incremento lineal, 1+2animacion, da la sensación de que la velocidad no es uniforme. Podemos modificarlo elevando la variable animacion a otro valor, que en este caso denominaremos velAnima, y le hemos dado el valor 1.3.

kochVer = Poligonal(Homotecia(koch, 1 + 2animacion^velAnima, PExtremo))

koch0=A + {(0, 0), 1/3 Vector(A, B), 1/3 Vector(A, B) + Rota(1/3 Vector(A, B), 60°), 2/3 Vector(A, B)}

koch1=Añade(koch0, B)

• Para las siguientes iteraciones, tendríamos que repetir este proceso con nuevos segmentos de nuestra lista.
• Por ello, puede resultar cómodo definir una herramienta de GeoGebra para generar esos nuevos puntos a partir de dos puntos dados.
• Para definir la herramienta, bastará con seleccionar la lista anterior koch0 y utilizar la opción de GeoGebra "Crear una nueva herramienta", que podemos denominar iteraKoch. (*) El hecho de no contar el extremo final del segmento es para no repetir ese punto cuando se considere como extremo inicial del siguiente.

• Aplicaremos la herramienta iteraKoch a todos los puntos que ya teníamos calculados. Juntaremos todos los resultados en una única lista, utilizando el comando Encadena.
• Añadimos el punto final B (como en el caso inicial), con el comando Añade.
• Por comodidad, podemos guardar primero el número de veces que hay que iterar sobre los elementos, en una variable longKoch=Longitud(koch) .
• Para calcular el siguiente paso de la curva, bastará con un único comando:

  Valor(koch,Añade(Encadena(  Secuencia(iteraKoch(Elemento(koch,t),Elemento(koch,t+1))  ,t,1,longKoch-1) ),B))

• Notar que, al definirlo así, utilizando el comando Valor, la construcción deja de ser dinámica. Esto es, si modificamos la posición de A o B, la poligonal calculada no se modificará.
• Si queremos un resultado dinámico, podríamos optar por ir definiendo diferentes listas, que podemos visualizar definiendo las correspondientes poligonales. Por ejemplo,

  koch2=Añade(Encadena(  Secuencia(iteraKoch(Elemento(koch1,t),Elemento(koch1,t+1))  ,t,1,Longitud(koch1)-1) ),B) koch3=Añade(Encadena(  Secuencia(iteraKoch(Elemento(koch2,t),Elemento(koch2,t+1))  ,t,1,Longitud(koch2)-1) ),B)

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