Definizioni e teorema

Definizione: rette incidenti

Due rette incidenti formano quattro angoli, a due a due congruenti perchè sono opposti al vertice. Se uno dei quattro angoli è retto, tutti i quattro angoli sono retti.
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Definizione: rette perpendicolari

Due rette incidenti che formano quattro angoli retti sono perpendicolari. Si può parlare anche di segmenti perpendicolari, quando appartengono a rette perpendicolari.
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Teorema: Esistenza e unicità della perpendicolare

Dati un punto P e una retta r, esiste una e una sola retta passante per P perpendicolare a r. Ipotesi: P è un punto, r è una retta Tesi: a) Esiste una retta passante per P perpendicolare a r (dimostrazione dell'esistenza) b) Questa retta passante per P perpendicolare ad r è unica (dimostrazione dell'unicità)

Dimostrazione - 1° caso: P appartiene ad r

E' una dimostrazione costruttiva: costruiamo una retta e dimostriamo che è perpendicolare e da questo deduciamo che una retta perpendicolare esiste (perchè l'abbiamo trovata, costruendola).
  • P r . Tracciamo una circonferenza (con il compasso) con centro in P e troviamo due punti di intersezione tra la circonferenza e la retta r. Li chiamiamo A e B.
  • Puntando il compasso in A e poi in B, tracciamo due archi di circonferenza, aventi lo stesso raggio, che si incontrano un un punto che chiamiamo C.
  • Tracciamo la retta PC

Costruzione della retta perpendicolare a r

Costruzione della retta perpendicolare a r

Dimostriamo che la retta costruita è perpendicolare ad r

a) Per costruzione, il triangolo ABC è isoscele, dato che AC BC perchè sono due raggi uguali. P è il punto medio della base del triangolo ABC e quindi, PC è la mediana. Ma in un triangolo isoscele, mediana e altezza coincidono. Pertanto, PC è anche altezza del triangolo ABC e quindi, è perpendicolare alla retta r (che contiene la base del triangolo). Abbiamo dimostrato che la retta passante per P perpendicolare ad r esiste, perchè ne abbiamo costruita una. b) Per dimostrare che la perpendicolare è unica, osserviamo che questa retta è la bisettrice dell'angolo piatto APB e la bisettrice è unica. Pertanto, anche la perpendicolare è unica.
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Dimostrazione - 2° caso: P non appartiene ad r

a) Esistenza
  • P r . Tracciamo una circonferenza (con il compasso) con centro in P e troviamo due punti di intersezione tra la circonferenza e la retta r. Li chiamiamo A e B.
  • Puntando il compasso in A e poi in B, tracciamo due archi di circonferenza, aventi lo stesso raggio, che si incontrano un un punto che chiamiamo C.
  • Tracciamo la retta PC.
  • Chiamiamo M il punto di intersezione tra r e PC.
  • Si formano due triangoli, APC e BPC, che sono congruenti per il 3° criterio, dato che PC è in comune, AP PB perchè sono raggi della stessa circonferenza AC BC perchè sono raggi uguali. Quindi, gli angoli APC e BPC sono congruenti perchè elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
  • Il triangolo APB è isoscele perchè AP BP.
  • PM è la bisettrice dell'angolo al vertice per quanto dimostrato prima. Quindi, dato che il triangolo è isoscele, PM è anche altezza; cioè, è perpendicolare alla base.
  • Abbiamo trovato una retta perpendicolare alla base anche in questo caso e quindi, abbiamo dimostrato che una retta perpendicolare ad r esiste anche se il punto P non appartiene alla retta r.
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Dimostrazione - 2° caso: P non appartiene ad r

b) Unicità Si dimostra per assurdo. Supponiamo che esistano due perpendicolari ad r passanti per P. Allora l'angolo PH'Q, che è un angolo esterno per il triangolo PHH', dovrebbe essere maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti (per il 1° teorema dell'angolo esterno). In particolare, dovrebbe essere PH'Q > PHH', ma questo è assurdo perchè per ipotesi PHH' e PH'Q sono due angoli retti, dato che sono gli angoli formati dalle due perpendicolari con la retta r. E quindi, sono congruenti. Pertanto, non possono esistere due rette perpendicolari e quindi, abbiamo dimostrato l'unicità della perpendicolare.
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