Elipse: Definición, gráfica y ecuaciones
Contenido
- Conceptos
- Elipse con eje focal horizontal
- Elipse con eje focal vertical
- Otro procedimiento de construcción de la elipse
Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante: . La constante es 2a y equivale a la medida del eje mayor de la elipse.
Cualquiera que sea la orientación de la elipse, se tienen los siguientes elementos:
Centro, C = (h, k): Es el puto de intersección entre el eje mayor y el eje menor. Es el punto medio de cada uno de los dos ejes de la elipse. También es el punto de simetría de la elipse.
Eje mayor, : Es el segmento de mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Contiene los dos vértices y los dos focos de le elipse.
La longitud del eje mayor es 2a. Por lo tanto a es la longitud del semieje mayor. Equivale a la distancia o .
Eje menor, : Es el segmento mediatriz del eje mayor. Sus extremos son puntos opuestos de la elipse.
La longitud del eje menor es 2b. Por lo tanto b es la longitud del semieje menor.
Focos, y : Son dos puntos fijos de la elipse que hacen que la suma de las distancias de ellos a un punto de la elipse sea una constante. Son simétricos al centro de la elipse y se ubican en el eje mayor.
Eje focal: Es la recta que pasa por el centro y contiene los focos y los vértices de la elipse.
Semidistancia focal, c: Es la distancia entre el centro y uno cualquiera de los focos, es decir, la distancia o .
Relación entre semieje mayor, semieje menor y semidistancia focal:
La relación es pitagórica:
Excentricidad, : Es la razón entre la semidistancia focal y el semieje mayor. Su valor se encuentre entre cero y uno.
A continuación se presentar tres applets con una metodología similar a los applets de la parábola.
- Elipse con eje focal horizontal
- Elipse con eje focal vertical
- Otro procedimiento de construcción de la elipse
Applet 1. Elipse con eje focal horizontal
- Dar los valores h, k, a, b. Tenga en cuenta que a > b. Se puede hacer en las casillas de entrada o con los deslizadores.
- Activar Centro, eje mayor, vértices, eje menor y focos. La aplicación calcula automáticamente el valor de c.
- Activar proceso de construcción. Se visualiza el proceso de construcción: El punto P es un punto de la elipse. Activando el rastro y desplazando el punto A sobre la circunferencia generatriz, P deja la huella que es la elipse que cumple las condiciones definidas al comienzo del applet. Se puede comprobar si se activa gráfica.
- Activar radios vectores, segmentos y
- Activar Comprobar definición. Se muestra una demostración geométrica y la comprobación mediante una tabla de valores: las medida de cada radio vector varía pero su suma siempre es 2a.
Otra comprobación se obtiene cuando P coincide con . En este caso y por lo tanto la suma de los dos radio vectores equivale a la distancia entre vértices, la cual es 2a.
- Activar excentricidad. Se observa que siempre está entre cero y uno. A medida que b se acerca a a, c se acerca a cero. Cuando esto sucede, los dos focos coinciden con el centro y la elipse se convierte en una circunferencia. Por eso se puede afirmar que la circunferencia es un caso particular de la elipse.
- Activar ecuación canónica. Cuando el eje focal es horizontal la ecuación es de la forma
Un ejemplo: Si una elipse tiene su eje focal horizontal y C = (2,-1), a = 3, b = 2, la ecuación canónica es .
Otros datos que se pueden obtener son:
- semidistancia focal,
- Excentricidad,
Observación: Si h = 0 y k = 0 se tiene que el centro de la elipse es el origen del sistema de coordenadas y la ecuación canónica es
- Activar ecuación general. Para la elipse del ejemplo anterior, la ecuación es . Se observa que A de y B de son positivos.
Applet 2. Elipse con eje focal vertical
Es un applet con las mismas características del anterior.
En este caso, el eje mayor es vertical y el eje menor es horizontal.
Vale la pena destacar que la ecuación canónica de una elipse determina el sentido del eje mayor dado que los denominadores son a y b. Además, siempre se cumple que a > b:
- Si el denominador mayor es el denominador de x, el eje focal es horizontal.
- Si el denominador mayor es el denominador de y, el eje focal es vertical.
Si a = b, la elipse se convierte en circunferencia porque los dos focos coinciden con el centro.
Applet 3. Otro procedimiento de construcción de la elipse
En el applet se muestra un procedimiento geométrico para dibujar una elipse con el eje focal horizontal.
Active el proceso de construcción. Active el rastro y desplace el dial del deslizador. El punto P deja su huella . La huella es una elipse con eje horizontal y se puede confrontar cuando se activa Gráfica.