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Funzioni lineari e tasso di crescita

Scopriamo il tasso di crescita di una funzione lineare

L'app di seguito visualizza il grafico della funzione lineare per . L'ordinata del punto rosso visualizzato nel grafico è . Utilizza lo slider per mostrare nel grafico alcuni punti ad ascissa intera di , e visualizzarne le coordinate nella tabella sotto al grafico. Trascina lo slider al valore massimo, e osserva la tabella di valori. Noti qualcosa in particolare? Ogni termine è la somma del precedente e 0.5! Formalizzando, diremo che , , e così via. Nota: Puoi modificare la funzione in ogni istante, trascinando i due punti su di essa. Esplora la relazione che intercorre tra due termini consecutivi della successione di valori, e confrontala con l'espressione della funzione.

Generalizziamo...

Considera la funzione lineare e sia . Mostra che .

Ora vediamo come leggere la formula...

Abbiamo ora una formula ricorsiva che mostra la relazione tra due valori assunti della funzione in due punti che distano 1 unità uno dall'altro:

.

Possiamo leggere la formula come "la funzione lineare cresce additivamente di 0.5 unità in ogni intervallo di lunghezza 1 unità".

Conclusioni (e qualche proprietà in più)

L'esempio che abbiamo esaminato per ragionare sul tasso di crescita di una funzione lineare è la restrizione di una funzione lineare nell'intervallo , e in seguito abbiamo considerato valori interi della x per semplificare il ragionamento, ma le stesse considerazioni valgono per ogni . Generalizzando la formula ottenuta in precedenza per ogni funzione lineare nella forma , possiamo dire che queste funzioni crescono additivamente di unità in ogni intervallo lungo 1 unità. Inoltre, esse crescono additivamente di unità in ogni intervallo lungo unità. Dimostrazione:

Funzioni lineariCrescita additiva