Simplificação de Expressões
- Autor:
- Pré-Cálculo UFBA
Uma mesma expressão aritmética ou algébrica pode ter várias representações. Por exemplo, como vimos na seção sobre identidades,
.
Normalmente, quando vamos responder a uma questão, preferimos usar a expressão mais simples, isto é, a que seja menor, ou a que possua menos redundância ou a que torna as propriedades da expressão mais claras. No exemplo acima, além de ser uma expressão mais curta, fica evidente que a resposta é sempre maior ou igual que zero para todo , o que não é tão óbvio para a expressão . O processo de obter uma representação mais simples de uma dada expressão é denominado simplificação. A simplificação também é útil para comparar respostas diferentes. Por exemplo, suponha que para uma certa questão um aluno obteve a resposta enquanto outro aluno obteve a resposta , qual deles acertou? Ambos acertaram, pois.
Mas a expressão do segundo membro é mais curta e deixa claro que a resposta é maior que , por exemplo, ao contrário da expressão do primeiro membro. Além disso, se todos os alunos simplificarem suas respostas, o processo de correção também é simplificado, pois o professor não precisará perder tempo verificando a igualdade das diversas expressões. Não é possível listar todas as regras de simplificação, até porque elas dependem do contexto, mas existem algumas regras que sempre devemos seguir. Vejamos as principais através de exemplos:Pôr em Evidência Fatores Comuns
Exemplo: Simplifique .
Exemplo: Simplifique .
Exemplo: Simplifique .
Aplicar as Propriedades das Potências
Exemplo: Simplifique .
Exemplo: Simplifique .
Exemplo: Simplifique .
Note que aqui estamos assumindo implicitamente que , pois o denominador de uma fração é sempre diferente de zero.
Exemplo: Simplifique .
Aqui também estamos assumindo implicitamente que e , pois só podemos dividir por um número não nulo.
Exemplo: Simplifique .
Cancelar Fatores Comuns
Exemplo: Simplifique .
Exemplo: Simplifique .
Antiexemplo 1: Simplifique .
Essa conta está errada, pois só podemos cancelar fatores comuns, e não parcelas iguais no numerador e denominador.
Antiexemplo 2: Simplifique .
Aqui também temos um erro, embora mais sutil. As identidades foram aplicadas corretamente, mas só podemos cancelar fatores não nulos. Quando temos que .
Quando simplificamos expressões algébricas, devemos indicar explicitamente quais valores das variáveis são permitidos, pois caso contrário a equação não é válida sempre. Por exemplo, na equação acima, para o valor do primeiro membro não está definido (o denominador se anula), mas o valor do segundo membro é .
Exemplo: Simplifique .
Agora estamos indicando os valores da variável que resultam em uma igualdade entre os dois membros da equação.
Racionalizar Denominadores
Exemplo: Simplifique .
O truque aqui é aplicar a identidade da diferença de quadrados, multiplicando numerador e denominador por .
Exemplo: Simplifique .
Note que neste caso podemos assumir que , pois caso contrário a expressão não faz sentido.
Assim,
A tentação quando vemos uma expressão da forma é escrever , mas isso é falso, pois teríamos por exemplo que , quando de fato . O melhor que podemos fazer, portanto é escrever, , ou no denominador do segundo membro acima, . Mas no caso particular, como estamos assumindo que , . Assim,
Podemos simplificar um pouco mais notando que
Mais uma vez, usamos o fato que . Finalmente,
Exemplo: Simplifique .
Note que, ao contrário do caso da raiz quadrada, temos sempre que .
Questões
Vamos treinar os conceitos acima com algumas questões.
Simplifique as seguintes expressões: