Fractions continues et demi-plan de Poincaré, Partie 3
- Auteur :
- Ole
- Thème :
- Fractions
Partie 3 d'un exposé sur les liens entre l'algorithme des fractions continues, les cercles (ou plutôt horocycles) de Ford et le demi-plan de Poincaré
On réalise avec cette troisième figure que l'isométrie qui envoie i sur S envoie également:
- l'infini sur la dernière réduite (ou l'avant dernière)
- 0 sur l'avant-dernière réduite (ou la dernière)
- 1 sur "la somme du cancre" des deux dernières réduites ; on rappelle que la somme du cancre est présentée dans la vidéo https://vimeo.com/geometrynteractivideo/interpretation-geometrie-hyperbolique-algo-fractions-continues
Mais surtout, cette troisième figure lève le voile sur les mécanismes qui permettent l'interprétation géométrique de l'algorithme des fractions continues présentée à la partie précédente ( pour rappel, http://tube.geogebra.org/material/simple/id/Hl9if4QR ) :
Trois calculs différents aboutissent à une même matrice.
1- Les calculs à l'aide du couple (D,G) est classique, et se trouve dans la littérature idoine.
2- Les calculs à l'aide du couple (D,U) est un peu plus original, bien que suivant strictement pas à pas l'algorithme des fractions continues; c'est en particulier avec ce couple que l'on peut également étudier dans le cadre du demi-plan de Poincaré le développement en fraction continue de racines carrées d'entiers, voir https://vimeo.com/geometrynteractivideo/fractionscontinues5
3- Les calculs à l'aide de nouvelles matrices qui codent des homographies paraboliques nous mettent sur la piste d'une démonstration de notre interprétation...
Les amateurs d'algorithmique noteront qu'il y a une quatrième manière, très épurée, de calculer cette isométrie du demi-plan de Poincaré, via l'algorithme d'Euclide étendu.
Les amateurs d'algorithmique se demandent peut-être aussi s'il n'y a pas moyen de naviguer entre les points S de tangence de la baderne d'Apollonius de manière plus efficace que dans l'arbre de Stern-Brocot: un graphe plus richement connecté est envisageable. L'arbre de Stern-Brocot est pauvrement connecté puisque l'on se contente d'y naviguer avec nos homographies paraboliques présentées ci-dessus, il peut être enrichi par de nombreuses autres arêtes si l'on se munissait d'autres isométries du demi-plan de Poincaré laissant elles aussi globalement invariantes la baderne d'Apollonius...Les homographies elliptiques, hyperboliques et aussi les symétries hyper-glissées vont nous être d'un grand secours pour cet enrichissement connectif. En ligne de mire, une ré-exploration d'algorithmes d'arithmétique.
Cet espoir est renforcé par le fait que les phylactères que l'on représente en pointillés dans cette figure, soit en cochant la case idoine, soit en pilotant K jusqu'à son maximum, semblent pouvoir paver le demi-plan de Poincaré...
Suite: Partie 4 http://tube.geogebra.org/m/qnKQ2WzU