Funktionens graf från derivatan

Författare/skapare:
Mathias Armbäck
Område(n):
Funktionsgrafer
Derivatan kan ge oss mycket information om hur en funktions graf ser ut. Det finns några standard funktioner som borde ha en känsla av formen av. Under sök i appletten nedan.

Intressanta punkter

Förutom att försöka hitta intressanta punkter så som funktionens nollställen och vart den skär y-axeln så kan man använda sig av derivatan för att hitta maximi-minimi- eller terasspunkter. Som vi såg i förra kapitlet så hade dessa punkter samma x-värden som derivatans nollställen. Låt oss använda derivatan för att undersöka . Vi börjar att derivera Nu försöker vi lösa när den är lika med 0. Vi kan använda pq-formeln. Då har vi hittat två x-värden där derivatan är noll vilket betyder att här har vi maximi-minimi- eller terasspunkter. För att ta reda på vad det är får vi välja tre siffror som vi behöver undersöker med derivatan. Det spelar ingen roll vilken siffra vi väljer, bara det är en som är mindre än -2, en mellan -2 och 1 samt en större än 1. På detta vis kan vi se hur funktionen förändras mellan dessa två ställen för att dra slutsats om vad det är för punkter. Det som är intressant är inte vad de får för värden, utan om de är positiva eller negativa. Vi kan se att före -2 är derivatan positiv. Det betyder att funktionen är växande. Mellan -2 och 1 är derivatan negativ. Det betyder att funktionen är avtagande. Sedan kan vi se att efter 1 är funktionen växande igen. Vi kan visa detta genom en så kallad teckenstudie i en tabell.
Här kan vi tydligt se var derivatan är positiv eller negativ.
Låt oss lägga till en rad med hur funktionen ser ut.
Här kan vi tydligt se var derivatan är positiv eller negativ. Låt oss lägga till en rad med hur funktionen ser ut.
Vi ser att det först går upp och sedan ned, då måste där vara en maximipunkt. Sedan ser vi att den går upp igen, då måste där vara en minimipunkt.
Vi ser att det först går upp och sedan ned, då måste där vara en maximipunkt. Sedan ser vi att den går upp igen, då måste där vara en minimipunkt.

Vi kan skissa den på följande vis. OBS vi vet inte vart grafen skär x-axeln. Den finns med för att vi ska kunna se var maximi- och minimipunkten finns

För att bestämma grafen närmare måste vi bestämma många fler punkter. Exempelvis: Var maximi- och minimipunkten är: och . Var grafen skär x-axeln: . Var grafen skär y-axeln: . Då kan vi få en mer fullständiga bilden av grafen.

Ett annat fall

Det kan hända att det blir något knepigt när vi letar efter maximi-minimi- eller terasspunkter med hjälp av derivatan. Låt oss undersöka grafen till med hjälp av derivatan. Vi börjar med att derivera. Vi undersöker när derivatan är noll. Ekvationen saknar reela rötter! Med andra ord saknar denna funktion maximi-minimi- eller terasspunkter. Funktionen är alltid växande eller avtagande. Vilket värde på x vi väljer kommer derivatan alltid att vara negativ. . Det betyder att funktionen är avtagande för alla x. Nedan finns grafen utritad för att se hur det kan se ut. Kikar man på den skulle man kunna tro att den har en terasspunkt. Tur vi undersökte!

Extra

Men hur vet jag då att derivatan alltid är negativ som i uppgiften ovan? Vi hade . Med derivatan . Antingen kan vi tänka oss att vi sätter in olika x-värden. Vad kommer då hända? Eftersom det är spelar det ingen roll om vi sätter in positivt eller negativt värde för den kommer alltid att bli positiv. Då har vi -6 som multipliceras med ett positivt värde. Då måste det vara negativt. Om vi då räknar -1+[ett negativt värde], då måste det vara negativt. Men det här var svårt! Sätt in värden och kontrollera.