Tetraedro Isósceles - Retas Suportes
Definição
Um tetraedro é isósceles se, e só se, a seguinte condição é satisfeita: para todo vértice X do mesmo, a soma dos ângulos do triedro do vértice X determinado tetraedro é igual a 180°.
Primeiramente, vamos dar uma olhada no exemplo abaixo. Ele nos ajudará na compreensão do nosso problema.
Exemplo 7.13
Seja A, B, C e D pontos não coplanares do espaço. Se A͞B = C͞D, A͞C = B͞D, A͞D = B͞C, a perpendicular comum às retas A͞B e C͞D é uma reta que une os pontos médios dos segmentos AB e CD.
PROBLEMA PROPOSTO
Prove que, em todo tetraedro isósceles, as perpendiculares comuns as retas suportes dos pares de arestas reversas intersectam-se em seus respectivos pontos médios.
Se ABCD é isósceles as perpendiculares comuns às retas suportes dos seus pares de arestas reversas unem os pontos médios de tais arestas. Sejam, pois, M, N, P E Q respectivamente os pontos médios de tais arestas AD, BC, AC E BD.
Aplicando o teorema das bases médias aos triângulos ACD e BCD, obtemos:
N͞Q = C͞D = M͞P e N͞Q || C͞D || M͞P
Portanto, os pontos M, N, P e Q são coplanares e o quadrilátero por eles determinado tem lados opostos iguais e paralelos, de sorte que é um paralelogramo.
Daí, segue que MN e PQ intersectam-se em seus respectivos pontos médios. De forma análoga, verificamos para a terceira perpendicular.