Introducción
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Variable compleja.
La representación de funciones reales de variable real, , y = f(x), asigna un eje cartesiano a las valores de x y otro eje a los valores de y. Con ello, se consigue que cada par (x, f(x)) quede representado por un punto en el plano. Todos los puntos (x, f(x)) constituyen una curva unidimensional, la gráfica de la función, que necesita 2 dimensiones para ser representada.
Ahora bien, la representación de un número complejo z = x + i y se realiza mediante el punto (x, y) del plano , así que la representación de funciones complejas de variable compleja, , necesita un plano para asignar los valores (x, y) correspondientes a z y otro plano para asignar los valores correspondientes a f(z). Podemos interpretar pues la función f como una función . La gráfica de esta función necesita 4 dimensiones para ser representada. ¿Como superar este inconveniente?
Uno de los modos de representar las funciones complejas es proyectando el espacio cuatridimensional en nuestro espacio tridimensional. Evidentemente, esto supone una inevitable pérdida de información, pero esto no impide que las proyecciones ayuden a analizar la función compleja original.
Veamos primero un ejemplo con una función . Esta función se puede representar en nuestro espacio tridimensional, por lo que podremos ver no solo sus proyecciones en los planos YZ, XZ y XY, sino también la superficie original. En las siguientes actividades, nos tendremos que conformar con ver solo las proyecciones, pues la función compleja original vive en un espacio de dimensión superior.
Tenemos tres variables: x, y, z, donde z=f(x,y). Proyectar un punto tridimensional (x, y, z) en el plano bidimensional significa anular una de las variables. Por tanto, hay tres proyecciones posibles, que son las que muestra la construcción.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.