OBMEP - Nível 3

Autor:: Carolina Moura Brasil Carneiro da Silva

Tópico:: Álgebra, Área, Cálculo, Funções, Geometria, Gráfico de função, Polígonos, Funções Quadráticas

2016 - Questão 11

Os quadrados da figura têm lados paralelos e o mesmo centro. O quadrado maior tem lado 10 e o menor tem lado x. Qual é o gráfico que expressa a área da região cinza em função de x?

Opções:

Antes de tudo, movimente o valor de x para compreender melhor a situação expressa na questão.

Vamos entender a composição da figura que pretendemos calcular a área em função de x.

Como é a figura que queremos determinar a área?

É possível perceber que a figura cinza é igual ao triângulo 1 em que tiramos o pedaço relativo ao triângulo 2. Com isso, basta que a gente determine a medida da área usando essas informações em função de x. Já sabemos que a área do triângulo 2 é a metade da área do quadrado de lado medindo x. Agora, só falta determinar a altura do triângulo 1, uma vez que já sabemos a medida de sua base.

Como determinar a altura do triângulo 1?

Como continuar?

Existem várias formas diferentes de resolver esta situação. Uma delas é encontrando uma expressão algébrica que represente a área cinza em função de x, ou seja, em função da medida do lado do quadrado menor. Isso significa que iremos encontrar uma função que associa uma medida de área para cada valor de x entre 0 e 10.

Uma função do 2º grau!

Maravilha! Já sabemos que o gráfico será uma parábola. Como o coeficiente a é negativo, sabemos que a concavidade desta parábola será para baixo. Temos, agora, apenas duas opções

Outra informação que podemos considerar é a posição do vértice. No item (b), o vértice não está sobre o eixo e no item (d), está. Como a abscissa do vértice é dada em função do coeficiente b e b

0, podemos afirmar, com certeza, que o vértice não está sobre o eixo y. Portanto, por eliminação, nos resta a opção (b) como resposta.

Outra forma de fazer:

Uma outra forma de fazer seria testando valores. Para isso, vamos utilizar uma tabela em que iremos variando os valores de x e verificando as medidas das áreas do triângulo 1, do triângulo 2 e da região cinza.

Testando valores: varie o valor de x para preencher a tabela a seguir.

Clique nas células azul e complete com as medidas das áreas encontradas acima.

Vamos ver se nosso raciocínio está correto. Clique em "Exibir função".

Legal!

Isso significa que nosso raciocínio está correto! O gabarito, portanto, só pode ser a letra B. Muito bem! Se você quiser acessar toda a prova da 1ª fase do nível 3 da OBMEP de 2016 de onde esta questão foi retirada, clique aqui. Para acessar outras provas, acesse a página oficial da OBMEP. Lá você consegue acessar o gabarito, questões resolvidas e, inclusive, encontrar vídeos com as resoluções de algumas questões.