Ejemplo 18. Investigaciones en clase. La mitad
El enunciado no puede ser más sencillo para un curso de secundaria ya que intentaremos que todos los estudiantes puedan entrar en el juego propuesto en la clase las matemáticas:
 | Enunciado Dado un cuadrado, una forma de construir, dentro de él, un polígono cuya área sea la mitad consiste en tomar los puntos medios de dos lados opuestos y unirlos con un segmento. Investiga otros procedimientos. |
El problema, además de ser inicialmente fácil de abordar, contiene una intencionada ambigüedad que permite cuestionarse una colección de preguntas. ¿Valen curvas? ¿Se pueden cruzar las líneas? ¿Qué entendemos por procedimiento? ¿Qué entendemos por polígono? ¿La solución ha de darse dibujada, expresada verbalmente, nombrada por el polígono resultante o las tres cosas a la vez? ¿Cómo demostrar que es realmente la mitad? ¿Qué significa demostrar para un alumno de secundaria? ¿Cuándo daremos una demostración por válida? Y así un sinfín de preguntas que profesor y alumnos deben responder como corresponde a una investigación.
Es muy sencillo obtener en clase distintas soluciones a la pregunta planteada y dibujar polígonos dentro del cuadrado cuya área sea la mitad; los alumnos obtienen como soluciones distintos tipos de triángulos, cuadriláteros y polígonos con mayor número de lados. GeoGebra también puede ofrecer las mismas soluciones que el dibujo sobre papel con igual o mayor facilidad. La aportación principal que ofrece es la posibilidad de obtener soluciones dinámicas, es decir, permite que dejemos uno o varios puntos libres y hacer que la construcción dependa de ellos con lo que realmente estamos yendo más allá en la búsqueda de procedimientos.
En el siguiente applet tenemos la versión fija de algunos procedimientos en la que el polígono está estrictamente determinado por las condiciones de la construcción. Junto a ella a su derecha se ha diseñado la versión animada en la que se han dejado puntos móviles representados con un estilo grueso y en color rojo.
Hasta ahora hemos centrado el punto de vista en la idea de polígono, de esta forma:
- Pasamos del rectángulo inicial (puntos medios de lados opuestos) a otro rectángulo que tiene por base la mitad del cuadrado y por altura el lado del cuadrado.
- Transformamos el triángulo isósceles (que tiene dos vértices en un lado del cuadrado y el tercero en el punto medio del lado opuesto) en un triángulo escaleno al considerar que el tercer vértice puede estar en cualquier punto del lado opuesto.
- El paralelogramo formado por dos vértices opuestos y los puntos medios de dos lados opuestos se ha convertido en otro paralelogramo distinto que solo ha de tener por altura el lado del cuadrado y por base su mitad.
- El rombo formado por dos triángulos iguales que tienen por base una diagonal y por altura la cuarta parte de la otra se transforma en un cuadrilátero cualquiera tomando un par de paralelas.