EN-mate sim 2015
Subiectul I
1. Rezultatul calculului este egal cu ... .
2. Prețul unui stilou este 20 de lei. După o reducere cu 10% , prețul stiloului va fi ... lei.
După o reducere de 10%, preţul nou va fi 90% din preţul iniţial... preţ nou:
.
3. Dacă n este singurul număr natural din intervalul [n , 8 ) , atunci n este egal cu ... .
, deoarece intersecţia are un singur element... Pe cale de consecinţă, obligatoriu, n = 7
4. Punctul O este situat în interiorul triunghiului echilateral ABC astfel încât AO = BO = CO . Măsura unghiului AOB este egală cu ... ° .
Păi, după definiţie, O este centrul cercului care trece prin vârfurile ; cum triunghiul este echilatreral, O este intersecţia mediatoarelor, carele mai sunt, între altele şi bisectoare pentru unghiurile triunghiului ABC. Asta vra să zică (la fel cu Rică-rămurică): este isoscel cu unghiurile de la bază de 300, de unde, .
5. În Figura 1 este reprezentat un cub ABCDA'B'C'D' . Suma lungimilor muchiilor care au în comun vârful A este egală cu 36 cm . Lungimea muchiei AB este egală cu ... cm .
Muchiile care se întâlnesc în vârful A, îs AB, AC şi AD. Prin urmare, cm . Altfel spus, AB=12 cm.
fig. 1
6. În graficul de mai jos este reprezentată dependența dintre distanța parcursă de un autocar și timpul în care este parcursă această distanță . Distanța parcursă de autocar în 120 de minute este de ... km .
După cum "povesteşte" graficul, distanţa parcursă în 120 de minute e de 80 km.
Subiectul II
1. Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' .
(xistă cineva, care nu ştie cum arată o cutie de chibrituri, de exemplu? Nu pot pentru casă cred.)
2. Determinați numerele naturale de trei cifre, de forma , știind că sunt divizibile cu 5 și au suma cifrelor egală cu 22 .
Un număr natural este divizibil cu 5, dacă "se termină" în 0 sau 5. Căutăm, aşadar numere de forma: , sau , cu suma cifrelor 22. Pentru prima formă avem , ceea ce nu se poate obţine pentru două cifre (ghici de ce?), iar pentru a doua formă trebe să avem . cum cea mai mare cifră este 9, iar 9+8=17, se cheamă că singurili numiri cu propetatea cerută îs 895 , 985.
3. Un elev citește o carte în două zile. În prima zi el citește 47% din numărul de pagini ale cărții, iar a doua zi citește cele 53 de pagini care au mai rămas. Calculați numărul de pagini ale cărții.
# dacă în prima zi a "redus" nr. de pagini cu 47% din x, i-au mai rămas,diferenţa, 53% din x = 53 pagini. Prin "cartea are, pagini.
4. Se consideră numerele reale şi y= .
Arătaţi că .
Calculaţi .
5. Se consideră , unde x este număr real. Arătaţi că E(x) este pătrat perfect, pentru orice număr natural n.
# Altfel spus, E(x) este pătrat perfect, pentru orice număr real. Mai e nevoie să spunem că numerele naturale sunt de asemeni şi numere reale? Pe cale de consecinţă, expresia dată rămâne pătrat perfect şi pentru numerele naturale. Poate că e bine venită şi o abordare "manuală".
.
Subiectul III
1. Figura 2 este schiţa unui parc în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 5 hm şi AD = 3 hm . Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EF , DP , DQ , BP și BQ , unde E ∈ ( AB ) , F ∈ ( CD ) astfel încât AE = CF = 1 hm , iar segmentele DP și BQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele D , respectiv B la dreapta EF.
a) Calculați lungimea aleii EF .
b) Arătați că traseul E → P → D și aleea EF au aceeași lungime.
c) Demonstrați că patrulaterul DPBQ este paralelogram.
a) Construim . În aceste condiţii, AEMD este dreptunghi şi prin urmare EM=3 hm, DM=1 hm, MF=3 hm. Triunghiul EMF este dreptunghic şi isoscel, cu catetele de 3 hm, de unde ipotenuza (mă. rog aleea) (la fel cu diagonala unui pătrat de latură 3, sau pentru cei mai "nevoiaşi", stă la dispoziţie teorema lui Pitagora în numitul triunghi),
b) Dacă EP+PD=EP+PF, atunci musai că ar trebui să avem PD=PF, adică ar trebui să fie isoscel. Păi, din construcţia lui este dreptunghic. Apoi, , din triunghiul EMF care este dreptunghic şi isoscel, ceea ce atrage după sine faptul că şi triunghiul PDF este dreptunghic şi isoscel şi se cheamă că am terminat. Ca o observaţie utilă la punctul c), în mod absolut analog şi triunghiul EQB este dreptunghic şi isoscel.
c) Cum toate triunghiurile dreptunghice şi isoscele sunt asemenea între ele, dacă două astfel de triunghiuri au ipotenuzele congruente, atunci ele sunt chiar congruente. Este cazul triunghiurilor , de unde obţinem relaţiile DP = QB . De aici, obţinem congruenţa , doua triunghiuri dreptunghice cu catetele congruente QB=PD, PQ=QP ). Asta atrage după sine faptul că PDQB are laturile opuse paralele, ceea ce-l obligă să fie paralelogram.
fig. 2
2. În figura de mai jos, este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu VA = 8 cm și AB = 8 cm. Punctele E și F sunt mijloacele segmentelor AB , respectiv BC . Punctul M este situat pe muchia VB astfel încât EM ⊥ VB.
a) Calculaţi aria triunghiului BEF .
b) Determinați măsura unghiului format de dreapta VD cu planul ( ABC ) .
c) Demonstrați că muchia VB este perpendiculară pe planul ( EMF ) .
a) este dreptunghic şi isoscel, cu catetele , prin urmare, aria sa este .
Unghiul unei drepte faţă de un plan se măsoară ca unghiul dreptei cu proiecţia dreptei pe acel plan. Proiecţia dreptei VD pe planul bazei piramidei (ABCD) este dreapta DO (O este proiecţia vârfului V pe baza piramidei). Din datele problemei, toate muchiile piramidei sunt de aceeaşi lungime şi prin urmare (cazul L.L.L). Cum este dreptunghic şi isoscel, .
c) Fie N mijlocul muchiei VB. Feţele laterale ale piramidei sunt triunghiuri echilaterale. Prin urmare, medianele CN, respectiv, AN sunt şi înălţimii în , respectiv , fiind coplanare şi perpendiculare pe aceeaşi dreaptă (VB). Înseamnă că (din reciproca liniei mijlocii în triunghi) FM este linie mijlocie în , de unde concluzionăm că M , dacă nu e la mijloc de codru verde, sigur este în mijlocul lui BN. Putem zice că Cu siguranţă! Avem şi cu asta Q.E.D.
Bye-bye şi succes la EN din iunie!
Bunica