Sistema de ecuaciones lineales
- Autor:
- Viviana Angélica Costa
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:
a11 x1 + a12 x2 + ...... + a1n xn = b1
..............................
am1 x1 + am2 x2 + ..... + amn xn= bm
donde los xi son las incógnitas, los elementos aij son constantes reales denominados coeficientes del sistema , y los bj coeficientes reales denominados términos independientes.
Para resolver un sistema de ecuaciones en la vista CAS se pueden utilizar los mismos comandos y las ecuaciones del sistema se escribirán encerradas entre llaves (como una lista, separadas por comas y lo mismo para las incógnitas).
Ejemplo:
Soluciones({ecuación1, ecuación2,…},{x1, x2, x3, …}) o Resuelve({ecuación1, ecuación2,…},{x1, x2, x3, …})
Por ejemplo, para resolver el sistema de ecuaciones lineales:
2 x1 + 3 x2 = 7
x1 - x2 = 0
Soluciones({ 2 x1+3 x2 =5 , x1 + x2=0, {x1,x2} )
El programa devolverá, en este caso, la solución única, como par ordenado, al ser el sistema compatible determinado.
Si el sistema es compatible indeterminado devolverá las soluciones en función de la última variable de la lista.
En el caso de ser incompatible devuelve como resultado el conjunto { }.
El sistema de ecuaciones lineales también puede escribirse en forma de una ecuación matricial:
A X = B
A matriz de orden mxn formada por los coeficientes aij X matriz de orden nx1 formada por las incógnitas B matriz de orden mx1 formada por los valores bj Para analizar la compatibilidad e incompatibilidad el sistema, el determinante, rango de la matriz y de la denominada matriz ampliada y su reducida por filas será decisivo para ello.Algebra Lineal con Aplicaciones
¿Es el sistema x+y=1 , x-y =1 compatible determinado?
Sin hacer cálculos: ¿La matriz de coeficientes asociada al sistema anterior tiene determinante cero?
Actividad
Sea el sistema:
x + k y= 1
k x + y = 1
con x e y las incógnitas y k un parámetro real.
Analizar usando el applet anterior, el sistema de ecuaciones lineales para distintos valores de k.
En caso de ser compatible, hallar en conjunto solución.
Luego, resolver con lápiz y papel realizando los cálculos necesarios y corroborar lo obtenido con lo hecho en GeoGebra, relacionando los resultados con los valores del determinante y rango de la matriz A y la matriz ampliada reducida por filas.
![[color=#0000ff][size=100][size=150]Interpretación geométrica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: intersección de rectas en el plano. [/size][/size][/color]](https://beta.geogebra.org/resource/hz9ufz9u/gmsI8zcz8rzAAXEB/material-hz9ufz9u.png)