La estrella de Belén II. Estelaciones del icosaedro truncado
Primeras hipótesis en búsqueda del poliedro de la Estrella de Belén.
El primer candidato como modelo teórico de López de Briñas es el rombicuboctaedro que descarta porque las bases cuadradas no concuerdan con las triangulares.
El dodecaedro truncado presenta grandes diferencias entre las bases triangulares y las decagonales.
Después de descartar otras posibles soluciones como los poliedros romos, se centra en el estudio de los truncamientos del dodecaedro y del icosaedro.
Los cuatro poliedos como imágenes tomadas de GeoGebra y con el set Sólidos Arquimedianos de Polydron
Un applet para investigar.
Los botones de la parte intermedia nos permiten dos tipos de visión:
- Poliedro permite ver el sólido
- Estelación presenta las pirámides sobre cada cara y activa un deslizador que modifica la altura de las pirámides construidas sobre las caras.
- El Icosaedro es el poliedro de partida. Al iniciar la animación aparecen pentágonos regulares en los vértices y hexágonos que tienen los lados paralelos opuestos.
- El icosaedro truncado se origina cuando los cortes en las esquinas del icosaedro producen 12 pentágonos regulares sobre en las secciones de los vértices y 20 hexágonos regulares en lo que queda de las caras del icosaedro.
- El icosidodecaedro se obtiene cuando el corte llega al centro de la arista de los triángulos inicieales haciendo que los 20 hexágonos se conviertan en triángulo equiláteros a la vez que los pentágonos aumentan de tamaño.
Descartando posibilidades
Después de encontrar la red de pentágonos regulares y triángulos equilateros, López de Briñas (2016) determina que está formada por 20 pirámides triangulares y 12 pirámides que ascienden con cinco caras curvadas en espiral a partir de bases pentagonales por lo que debe surgir de alguna mezcla de dodecaedro e icosaedro.
Las 20 pirámides de base triangular rodean a las 20 pirámides de base pentagonal y viceversa como se veía en la distribución de vértices del applet anterior
El problema de esta figura consiste en que los pentágonos y los triángulos de las bases de las pirámides comparten las aristas de la base, pero en la Estrella no es así ya que se ve claramente que las aristas de las pirámides triangulares convergen hacia el centro de la cara pentagonal. En las pirámides pentagonales es más difícil de ver porque ascienden en espiral.
Código QR
Elementos manipulables:
- t1 aumenta o disminuye el truncamiento del icosaedro
- d modifica la altura de las pirámides desde las que se introducen en el interior del dodecaedro hasta las que se elevan para formar la estrella de la Sagrada Familia.
- Con j=0 vemos el poliedro truncado. Con j=1 vemos el estrellado.