Torso de pendiente constante sobre un hiperboloide de revolución

El hiperboloide de revolución es la superficie generada al girar una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Si tomamos el eje que no corta a la hipérbola, se obtiene un hipeboloide de una hoja, y tomando el otro eje, un hiperboloide de dos hojas. Si trazamos una curva de ángulo constante con el eje de giro sobre el hiperboloide de revolución de una hoja, y sobre ella hacemos deslizar un segmento, en la dirección de la curva, se obtiene una superficie desarrollable de pendiente constante. Esta superficie se denomina torso, pues es reglada y de curvatura nula.

Instrucciones

Pulsa en "Más opciones" y utiliza los puntos azules para
  • Modificar el radio de la "cintura" del hiperboloide.
  • Cambiar su apertura, con el radio de una circunferencia horizontal. Su altura se elige con un punto sobre el eje.
  • Modificar la longitud del segmento y el ángulo que forma con el eje, que es el mismo ángulo que, en cada punto, forman la curva y el eje.
Además, tenemos opciones para visualizar curvas, segmentos, cambiar colores, etc.

Ecuaciones paramétricas del hiperboloide

En ecuaciones implícitas, la ecuación de un hiperboloide de revolución de radio r en la "cintura" (circunferencia utilizada para generar la superficie) es

Considerando las identidades trigonométricas , podemos pasar a las ecuaciones paramétricas

para . Las ecuaciones se corresponden con la superficie de revolución generadas por la hipérbola y=0, del plano XZ, , es decir, Considerando que para cualesquiera p,q, , podríamos usar alguna de las dos posibles parametrizaciones referidas a las rectas del hiperboloide que, usando la ecuación del hiperboloide:

Notar que, la recta que pasa por un punto de la cintura de la forma , tiene como vector director . En particular, a es la tangente del ángulo formado por estas rectas y el eje de giro.

Ecuación del torso

Para generar el torso, partimos de su borde de regresión, que es una curva de pendiente constante sobre el hiperboloide. Denotando ω el ángulo que formará la pendiente con el eje de rotación, si es mayor que el de las rectas del hiperboloide, tomando , las ecuaciones de la curva de ángulo constante con el eje de giro, que será el borde de regresión, se puede comprobar que son

Los segmentos que definen el torso deben tener la dirección , para tener la inclinación determinada por m, y estar en el mismo plano vertical que el vector tangente al borde de regresión. Tomando un vector de módulo 1, podemos parametrizar el torso introduciendo la variable v que, además, indicará la longitud del segmento, resultando las ecuaciones:

.

Torso de pendiente constante con textura en madera, junto con el hiperboloide de revolución
Torso de pendiente constante con textura en madera, junto con el hiperboloide de revolución

Referencias

  • Kirischiev RI. Lines of slope on the second order surfaces of revolution. Matematika, nekotorie eyo prilozheniya i metodika prepodavaniya. Rostov-na-Donu, 1972; p. 80-94.
  • Krivoshapko S.N. y Ivanov V.N. Encyclopedia of analytical surfaces (pág 36). Springer International Publishing Switzerland, 2015.
  • Wunderlich Walter. Kurven konstanter ganzer Krümmung und fester Hauptnormalenneigung. Monatsh. ath. 1973; 77, No. 2, p. 158-171.