Transformación afín invertible
- Autor:
- Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia.
Recuerda que a las funciones del tipo f(x)=m x se les conoce por funciones lineales (representadas por rectas que pasan por el origen), mientras que a las funciones del tipo f(x)= m x + n se les llama funciones afines (representadas por rectas cualesquiera).
Del mismo modo, a las transformaciones del plano del tipo P' = M P se les conoce como transformaciones lineales (el sistema conserva el origen), mientras que las transformaciones del tipo P' = M P + O se les conoce como transformaciones afines (a la transformación lineal se le añade una traslación del origen).
Resumiendo, hemos visto que realizar un cambio de base equivale a aplicar a cada punto P del plano una transformación lineal invertible P' = M P, mientras que realizar un cambio de sistema de referencia equivale a aplicar una transformación afín invertible P' = M P + O (como ya hemos visto, son invertibles, o no singulares, porque a y b son independientes).
Si en la construcción anterior añadimos los puntos A y B, de modo que los vectores a y b pasen a ser, respectivamente, los vectores OA y OB, entonces el nuevo sistema de referencia queda totalmente determinado por las posiciones de O, A y B. Es decir, por la imagen de los puntos (0,0), (1,0) y (0,1) en la transformación afín.
Si ahora consideramos los puntos O, A y B como los vértices de un triángulo (O, A y B no pueden estar alineados pues a y b son vectores independientes), concluimos que el triángulo OAB determina la transformación. Observa que la imagen del cuadrado unidad (con dos lados en i, j) siempre es un paralelogramo (con dos lados en a, b).
El cambio de sistema de referencia determina, de este modo, además del nuevo origen, la forma de la "cuadrícula". Por ejemplo, cuando a y b tengan igual módulo y formen un ángulo de 60º, la cuadrícula se volverá isométrica (el cuadrado unidad se transformará en un diamante, un rombo descomponible en dos triángulos equiláteros).
En cualquier caso, a y b determinan un paralelogramo cuya área viene dada por el módulo del producto vectorial de a y b, que a su vez es el valor absoluto del determinante de M. Este valor es el factor en que se agrandará (si es mayor que 1), conservará (si es igual a 1) o reducirá (si es menor que 1) el área de cualquier figura plana sometida al cambio de sistema de referencia.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.