Flächenformel von Pappos
In Buch IV seiner acht Bände umfassenden Synagoge ( Sammlung ) der
klassischen griechischen Geometrie beschreibt Pappos von Alexandria
im Jahre 320 n. Chr. eine bemerkenswerte Verallgemeinerung des Satzes
von Pythagoras. Es handelt sich sogar in zweifacher Hinsicht um eine Verallgemeinerung: Das Dreieck
muß nicht rechtwinklig sein und statt Quadraten konstruiert man
beliebige Parallelogramme über den Seiten.
Es sei ABC ein beliebiges Dreieck. Es seien ACDE und BGFC
beliebige Parallelogramme über den Seiten AC und BC.
Man verlängere ED und GF bis zu ihrem Schnittpunkt H.
Von den Punkten A und B des Dreiecks zeichne man die Strecken AK und BL
parallel und gleichlang zu HC.
Dann gilt für die drei Parallelogrammflächen:
AKLB=BGFC+ACDE.
Alle "blauen Punkte können bei gedrückter linker Maustaste
verschoben werden. Man vergewissere sich, daß die Behauptung
immer gilt. Der Beweis ist überraschenderweise sehr einfach und anschaulich und umfaßt lediglich einfache Schertransformationen. Stellen Sie auch die Situation des Satzes von Pythagoras her, indem Sie den Winkel zu 90 Grad einstellen und das grüne und blaue Parallelogramm jeweils zu einem Quadrat werden lassen.
Was muss nun nur noch gezeigt werden, um den Satz des Pythagoras als einfache Folgerung aus dem Satz des Pappos zu erhalten?