Quadrik Affine Normalform (Hauptachsenform)
- Autor:
- hawe
Hyperbolic Paraboloid
qA: = x² + 3y² - z² - 4x y - 2y z + 2x - 2y = 1
===> quadratisch ergänzen
(x + 1 - 2y)² - (1 - 2y)² + 3y² - z² - 2y z - 2y = 1
l========l=>-y² - 2y z + 2y - z² - 1 = 1
(x + 1 - 2y)² - (y + z - 1)² + (z - 1)² - z² - 1 = 1
l=================l=>-2z = 1
Koordinatenwechsel
qN:=xo² - yo² - zo = 1
===>
Affine Transformation
Koordinatenwechsel: Ersetzen des KO(x,y,z) durch KO(xo,yo,zo) - umstellen T' zu T
Koordinatenwechsel Matrixgleichung: (umstellen )
Hinweise
User-Funktion zum Auslesen der Koeffizienten
cA:=Coefficients(q_A)
k(a) ==> Koeffizent zu a aus cA
Sammle alle zu einem quadratischen Summanden gehörenden Summanden auf und bilde das Binom
z.B.
a x2 + b xy + c xz + d x ===> a(x + 2 x ( b y + c z + d)/(2a)) ===> a( x + ( a y + b z + c )/(2a))^2
k(x^2) ( x +( k(xy) y + k(xz) z + k(x) )/( 2 k(x^2)) )^2
und ziehe das Binom bx = 1 (x - 2y + 1)² von q_A ab
bx:=sqrt(abs(k(x^2))) (x + Expand((k(xy) y +k(xz) z+ k(x))/( 2 k(x^2)))))
q_x:=LeftSide(q_A) - sgn(k(x^2)) b_x^2
nächster quadratischer Summand aus dem restlichen Term
cB:=Coefficients(q_x+x^2+y^2+z^2) - {1,1,1,...}
In der App werden die Binome zu x^2,y^2, und z^2 erstellt ohne Fallunterscheidungen anzustellen - diese Zeilen müssen für andere Aufgaben ggf. individuell angepasst (ausgelassen) werden, wenn sie nicht benötigt werden.
Gemischte Summanden wie xy,xz,yz (werden ggf. als EINE Variable erkannt) unbedingt mit x*y oder x y eingeben!
Coefficients() liefert ggf. keine komplette Koeffizientenliste zu x,y,z (Bug im CAS) addiere fehlende quadratischen Summanden (x2+y2+z2) ziehe sie -{1,1,1..} wieder ab um eine komplette Liste zu erhalten - individuelle Anpassung notwendig!
