Trayectorias Parabólicas y Ecuaciones Paramétricas - Problemas Verbales de Ballet
1: Formulación e Interpretación de Ecuaciones Paramétricas
* Escritura de Ecuaciones y Alcance, El Grand Jeté de la Primera Bailarina: Una bailarina ejecuta un Grand Jeté con una velocidad inicial de 5.0 m/s a un ángulo de 45° respecto a la horizontal. Despreciando la resistencia del aire, escribe las ecuaciones paramétricas x(t) y y(t) que describen la posición de su centro de gravedad en función del tiempo. ¿Cuál es el alcance horizontal total del salto?
* Deducción de Condiciones Iniciales, Análisis Paramétrico del Tour Jeté: Un bailarín ejecuta un Tour Jeté cuyas ecuaciones de movimiento están dadas por x(t) = 2.8t y y(t) = 4.5t - 4.9t^2 (donde x e y están en metros y t en segundos). A partir de estas ecuaciones, deduce la velocidad inicial total del salto y el ángulo de despegue.
2: Análisis de Componentes Vectoriales y Altura
* Descomposición Vectorial y Altura Máxima, Altura Máxima en el Saut de Chat: Un bailarín realiza un Saut de Chat despegando con una velocidad de 4.8 m/s y un ángulo de 60°. Calcula la altura máxima que alcanza su centro de gravedad durante el salto. Descompón primero la velocidad inicial en sus componentes.
* Análisis Vectorial, Componentes de Velocidad en el Grand Pas de Chat: Un bailarín despega para un Grand Pas de Chat con una velocidad horizontal constante de 3.5 m/s y una velocidad vertical inicial de 4.2 m/s. Escribe la ecuación vectorial de la posición y determina el vector velocidad en el punto más alto de la trayectoria.
3: Análisis del Tiempo (Vuelo y Intervalos)
* Velocidad dado el Tiempo, Tiempo de Vuelo en el Cabriole: Durante un Cabriole, un bailarín permanece en el aire por un total de 0.6 segundos. Si el salto es simétrico y aterriza al mismo nivel del despegue, determina la componente vertical de su velocidad inicial necesaria para lograr este tiempo de vuelo. (Usa g = 9.8 m/s^2).
* Intervalos en el Vértice, El "Hang Time" (Ilusión de Suspensión): Para crear la ilusión de flotar en el aire durante un Grand Jeté, una bailarina desea maximizar el tiempo que su centro de gravedad está cerca del pico de la parábola. Si su salto tiene una altura máxima de 0.8 metros, calcula cuánto tiempo permanece su centro de gravedad dentro de los 10 cm superiores de su trayectoria.
4: Comparación y Cálculo de Ángulos
* Comparación de Trayectorias, Comparación de Ángulos en el Sissonne: Dos bailarinas realizan un Sissonne con la misma velocidad inicial de 4.0 m/s. La Bailarina A salta con un ángulo de 30° y la Bailarina B con un ángulo de 60°. Demuestra matemáticamente quién llega más lejos horizontalmente y quién alcanza mayor altura.
* Solución para el Ángulo de Despegue, Aterrizaje Preciso: Una coreografía requiere que una bailarina aterrice exactamente a 2.5 metros de distancia de su punto de inicio después de un salto. Si ella está entrenada para despegar siempre con una velocidad fija de 5.5 m/s, determina los dos posibles ángulos de despegue que le permitirían cumplir con este requisito.
5: Aplicaciones Avanzadas (Intersecciones y Restricciones)
* Trayectoria con Restricción de Altura/Obstáculo, Despejando la Escenografía: En una producción de "El Cascanueces", un bailarín debe saltar sobre un objeto de utilería de 0.5 metros de altura que está situado a 1.5 metros de su punto de despegue. Si salta con un ángulo de 50°, ¿cuál es la velocidad inicial mínima requerida para no tocar el objeto?
* Intersección de Parábola y Recta: Trayectoria sobre un Escenario Inclinado: Supongamos una producción vanguardista donde el escenario tiene una ligera inclinación ascendente de 5°. Una bailarina salta "cuesta arriba" con una velocidad de 6.0 m/s a un ángulo de 40° respecto a la horizontal (no respecto a la rampa). Calcula las coordenadas (x, y) del punto donde aterriza sobre la rampa. (Sugerencia: Encuentra la intersección entre la parábola del salto y la recta que define la rampa y = x*tan(5°)).